Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнение касательной

Читайте также:
  1. Билет 33. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический разряд
  2. Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс
  3. Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
  4. Гармонические колебания и их характеристики. Уравнение гармонический колебаний
  5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс
  6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
  7. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(А ТQ ТВ)² - 4∙(А ТQА)∙(В ТQВ)=0 (А ТQ ТВ)² - (А ТQА)∙(В ТQВ)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (А Т ∙Q Т Х) ² - ( А Т ∙Q∙ А ) ( Х Т ∙Q∙ Х ) = 0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

· А КВП А ТQА = 0 (А ТQ ТХ= 0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. А ТQ ТХ =0 - уравнение касательной.

· А КВП.

(А ТQ ТХ)² - (А ТQА)∙(Х ТQХ) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(А ТQ ТХ)² - (А ТQА)∙(Х ТQХ) = (иХ

Х ТQХ = ((А ТQ ТХ)² - (иХ)²)= ((А ТQ ТХ)- иХ) ((А ТQ ТХ)+ иХ)

овальная квадрика Х ТQХ распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

 

 

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х1 ²+ х2 ² 3 ²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а1 ²+ а2 ² 3 ² < 0 (если а1 ²+ а2 ² 3 ² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2 х1 ²+ х3 ²-2 х1 х2 -2 х1 х3 =0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q= .

А ТQА =(1:8:5)∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП,

Применим формулу (**) (А ТQ ТХ)² - (А ТQА)∙(Х ТQХ) = 0.

А ТQХ =(1: 8: 5)∙ =(-11: -1: 4)∙ 11∙ х1+ х2 - 4∙ х3 =0

(11∙ х1 + х2 - 4∙ х3 )² - 1∙(2∙ х1 ² + х3 ² - 2∙ х1х2 - 2∙ х1х3 ) =

= 121∙ х1 ² + х2 ² + 16∙ х3 ² + 22∙ х1х2 - 88∙ х1х3 - 8∙ х2х3 - 2∙ х1 ² - х3 ² + 2∙ х1х2 + 2∙ х1х3 =

= 119∙ х1 ² + х2 ² + 15∙ х3 ² + 24∙ х1х2 - 86∙ х1х3 - 8∙ х2х3 =

= х2 ² +2∙ х2 ∙12∙ х1 -2∙ х2 ∙4∙ х3 + 144∙ х1 ² +16∙ х3 ² - 2∙12∙ х1 ∙4∙ х3 - 144∙ х1 ² -16∙ х3 ² +96∙ х1х3 +119∙ х1 ² +15∙ х3 ² - 86∙ х1х3 =

= (х2 + 12∙ х1 -∙4∙ х3)² - 25∙ х1 ² - х3 ² + 10∙ х1х3 = (х2 + 12∙ х1 -∙4∙ х3)² - (5∙ х1 - х3)² =

= ((х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 ) - (5∙ х1 - х3 ))∙((х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 ) + (5∙ х1 - х3 ))=

= (х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 - 5∙ х1 + х3 )∙(х2 + 12∙ х1 - 4∙ х3 + 5∙ х1 - х3 )=

= (х2 +7∙ х1 - 3∙ х3 )∙(х2 +17∙ х1 - 5∙ х3) = (7∙ х1 + х2 - 3∙ х3 )∙(17∙ х1 + х2 - 5∙ х3) = 0.

Т.о. касательные: 7∙ х1 + х2 - 3∙ х3 = 0 и 17∙ х1 + х2 - 5∙ х3 = 0.

В ТQВ =(18:13:6)∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП.

Уравнение касательной:

В ТQХ = (18: 13: 6)∙ = 0 (17: -18: -12)∙ = 17∙ х1 - 18· х2 - 12∙ х3 = 0.

 

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 113 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Принцип двойственности | Теорема Дезарга | Простое отношение | Сложное отношение | Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. | Квадрики на проективной плоскости | Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Взаимное расположение прямой и квадрики| Полюс и поляра

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)