Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости.

Читайте также:
  1. II. Классификация антисептических и дезинфицирующих средств.
  2. II. Классификация издержек обращения.
  3. II. Классификация, этиология, патогенез и гемодинамика
  4. II. Товарные запасы. Характеристика, классификация, факторы, влияющие на размер товарных запасов
  5. IV. Занятия с ребенком второго года жизни.
  6. Quot;ОБЩЕСТВО" ВТОРОГО УРОВНЯ
  7. АРМАТУРА КОТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК. НАЗНАЧЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ.

Пусть квадрика приведена к каноническому виду.

Для εi = - 1, 0, 1 всего различных комбинаций будет - 33=27.

1. ε1 = 1, ε2 = 1, ε3 = 1 rang Q = 3.

x1 ² + x2 ² + x3 ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет только точка , но на проективной плоскости Р2 нет такой точки. (Почему?)

Т.е. ни одна точка Р2 не удовлетворяет этому уравнению. Такую квадрику будем называть нулевой.

Замечание: Нулевой квадрикой также будет - x1 ² - x2 ² - x3 ² = 0.

2. ε1 = 1, ε2 = 1, ε3 = - 1 rang Q = 3.

x1 ² + x2 ² - x3 ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек. Такую квадрику будем называть овальной.

Замечание: Овальными также будут: x1 ² - x2 ² + x3 ² = 0, - x1 ² + x2 ² + x3 ² = 0,

- x1 ² - x2 ² + x3 ² = 0, - x1 ² + x2 ² - x3 ² = 0, x1² - x2 ² - x3 ² = 0.

3. ε1 = 1, ε2 = 1, ε3 = 0 rang Q = 2.

x1 ² + x2 ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет только одна точка с действительными координатами Е3 и множество точек с мнимыми координатами. Эта квадрика является пересечением двух мнимых прямых x1 = ± i x2, которые пересекаются одной действительной точке Е3.

Замечание: К этому же классу относятся квадрики: x1 ² + x3 ² = 0, x2 ² + x3 ² = 0,

- x1 ² - x2 ² = 0, - x1 ² - x3 ² = 0, - x2 ² - x3 ² = 0.

4. ε1 = 1, ε2 = - 1, ε3 = 0 rang Q = 2.

x1 ² - x2 ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек с действительными координатами.

Так как x1 ² - x2 ² = (x1 - x2)·(x1 + x2),

то эта квадрика является пересечением двух прямых x1 = x2 и x1 = - x2.

Замечание:К этому же классу относятся квадрики: x1 ² - x3 ² = 0, x2 ² - x3 ² = 0,

- x1 ² + x2 ² = 0, - x1 ² + x3 ² = 0, - x2 ² + x3 ² = 0.

5. ε1 = 1, ε2 = 0, ε3 = 0 rang Q = 1.

x1 ² = 0 - этому уравнению удовлетворяет множество точек с действительными координатами. Эта квадрика является парой совпавших прямых x1 =0 и x1= 0.

Замечание: К этому же классу относятся квадрики: х2 ² = 0, x3 ² = 0,

- x1 ²= 0, - x2 ² = 0, - x3 ² = 0.

6. ε1 = 0, ε2 = 0, ε3 = 0 rang Q = 0.

0 x1 ² +0 x2 ² + 0 x3 ² =0- этому уравнению удовлетворяют все точки проективной плоскости. Поэтому как квадрику это уравнение не рассматривают.

Вывод: На проективной плоскости существует пять классов квадрик

Класс rang Q Уравнение
  Мнимая невырожденная rang Q= 3 x1 ²+ x2 ²+ x3 ²=0
  Овальная невырожденная rang Q= 3 x1 ²+ x2 ² -x3 ²=0
  Пара мнимых пересекающихся прямых вырожденная rang Q= 2 x1 ² + x2 ² = 0
  Пара действительных пересекающихся прямых вырожденная rang Q= 2 x1 ² - x2 ² = 0
  Пара совпавших прямых вырожденная rang Q= 1 x1 ² = 0

 

Теорема. Каковы бы ни были пять точек на проективной плоскости среди которых никакие четыре не лежат на одной прямой, существует единственная квадрика инцидентная им.

Доказательство. Пусть точки будут А, В, С, D, H. Из данных пяти точек коллинеарными может быть только три. Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то любые четыре можно выбрать в качестве репера плоскости. Если есть три точи лежащие на одной прямой, например А, В, С, то оставшиеся D и H не лежат на этой прямой. Тогда в качестве точек репера возьмем А, В, D, H.

R (А, В, D, H), тогда А , В , D , H , С .

Подставим координаты точек в уравнение (*), получим:

А q11 ∙1² + q22 ∙0² + q33 ∙0² + 2 q12 ∙1∙0 + 2 q13 ∙1∙0 + 2 q23 ∙0∙0 = 0,

В q11 ∙0² + q22 ∙1² + q33 ∙0² + 2 q12 ∙0∙1 + 2 q13 ∙0∙0 + 2 q23 ∙1∙0 = 0,

D q11 ∙0² + q22 ∙0² + q33 ∙1² + 2 q12 ∙0∙0 + 2 q13 ∙0∙1 + 2 q23 ∙0∙1 = 0,

Н q11 ∙1² + q22 ∙1² + q33 ∙1² + 2 q12 ∙1∙1 + 2 q13 ∙1∙1 + 2 q23 ∙1∙1 = 0,

С q11с1 ² + q22с2 ² + q33с3 ² + 2 q12с1с2 + 2 q13с1с3 + 2 q23с2с3 =0,

q11 = 0, q22 = 0, q33 = 0, q12 + q13 + q23 = 0, q12с1с2 + q13с1с3 + q23с2с3 = 0.

Матрица системы имеет ранг 2, в противном случае точка С совпадала бы с одной из точек репера (проверьте). Значит, существуют ненулевые решения, т.е. квадрика существует. Найдем их.

q12 = с2с3 - с1с3, q13 = с1с2 - с2с3, q23 = с1с3 - с1с2.

Или q12 = с3 ∙(с2 - с1), q13 = с2 ∙(с1 - с3), q23 = с1 ∙(с3 - с2)

с3 ∙(с2 - с1)∙ х1х2 + с2 ∙(с1 - с3)∙ х1х3 + с1 ∙(с3 - с2)∙ х2х 3 = 0 - уравнение квадрики в репере R (А, В, D, H). □

Замечание: Если среди пяти точек никакие три не коллинеарны, то через них нельзя провести двух прямых, а значит, квадрика будет овальной. Если есть тройка коллинеарных точек, через две оставшиеся можно провести вторую прямую и квадрика распадается на две прямые.

Задача. Составить уравнение квадрики проходящей через точки

А , В , D , H , С .

Решение. Подставим координаты точек в уравнение (*).

А q11 ∙2² + q22 ∙1² + q33 ∙0² + 2 q12 ∙2∙1 + 2 q13 ∙2∙0 + 2 q23 ∙1∙0 = 0,

В q11 ∙2² + q22 ∙(-1)² + q33 ∙0² + 2 q12 ∙2∙(-1) + 2 q13 ∙2∙0 + q23 ∙(-1)∙0=0,

D q11 ∙0² + q22 ∙0² + q33 ∙1² + 2 q12 ∙0∙0 + 2 q13 ∙0∙1 + 2 q23 ∙0∙1 = 0,

Н q11 ∙(-2)² + q22 ∙0² + q33 ∙1² + 2 q12 ∙(-2)∙0 + 2 q13 ∙(-2)∙1 +2 q23 ∙0∙1=0,

С q11 ∙2² + q22 ∙2² + q33 ∙3² + 2 q12 ∙2∙2 + 2 q13 ∙2∙3 +2 q23 ∙2∙3 = 0,

q11 х1 ² - 4 q11 х2 ² + 2 q11 х1 х3 =0 х1 ² - 4 х2 ² + 2 х1 х3 = 0

(разделили на q11 ≠ 0, так как все коэффициенты одновременно не могут быть равными 0).

Задача. Привести уравнение квадрики 2 х2 ² - 3 х3 ² - 2 х1 х2 - 2 х1 х3 - 2 х2 х3 =0 к каноническому виду.

Решение. Один из способов приведения КВП к каноническому виду основан на применении собственных векторов и собственных значений матрицы. Но этот способ довольно громоздкий.

Приведем КВП к каноническому виду методом Лагранжа (метод выделения полных квадратов).

( х2)² - 2 х1 х2 + 2 х1 х3 - 2 х2 х3 + х1 ²+

+ х3 ² - 2 х1 х3 - х1 ² - х3 ² - 3 х3 ² - 2 х1 х3 =

=( х1 + х3 - х2)² - 3 х1 х3 - х3 ² - х1 ² = ( х1 + х3 - х2)² - (3 х1 х3 +7 х3 ² + х1 ²)=

=( х1 + х3 - х2)² - (х1 ² + 2 х1 х3 + х3 ² - х3 ² +7 х3 ²)=

=( х1 + х3 - х2)² - (х1 + х3)² + х3 ² - 7 х3 ²=( х1 + х3 - х2)² - (х1 + х3)² - х3 ² =( х1 + х3 - х2)² - ( х1 + х3)² - ( х3) ² =0,

( х1 + х3+ ( х3) ² - ( х1 + х3 - х2)² = 0.

Если ввести новые переменные , тогда в

новых координатах уравнение квадрики примет вид: - это овальная квадрика.

Выделить полные квадраты можно и другим способом:

2 х2 ² - 3 х3 ² - 2 х1 х2 - 2 х1 х3 - 2 х2 х3 =0 |: 2

х2 ² - 1,5∙ х3 ² - х1х2 - х1х3 - х2х3 =

= х2 ² - 2∙ х2 ∙0,5· х1 - 2∙ х2 ∙0,5· х3 + 2∙0,5· х1 ∙0,5· х3 + 0,25∙ х1 ² +0,25∙ х3 ² -

- 0,25∙ х1 ² - 0,25∙ х3 ² - 0,5∙ х1х3 - х1х3 - 1,5∙ х3 ² =

= (х2 - 0,5· х1 - 0,5· х3)² - 0,25∙ х1 ² - 1,5∙ х1х3 - 1,75∙ х3 ² = (х2 - 0,5· х1 - 0,5· х3)² - 0,25∙(х1 ² + 6∙ х1х3 + 7∙ х3 ²)=

= (х2 - 0,5· х1 - 0,5· х3)² - 0,25∙(х1 ² + 2∙ х1 ∙3∙ х3 + 9∙ х3 ² - 2∙ х3 ²)=

= (х2 - 0,5· х1 - 0,5· х3)² - 0,25∙(х1 + 3∙ х3+ 0,5∙ х3 ² = 0 | × 4

4∙(х2 - 0,5· х1 - 0,5· х3)² - (х1 + 3∙ х3+ 2∙ х3 ² = 0 (2· х2 - х1 - х3)² - (х1 + 3∙ х3+ 2∙ х3 ² = 0.

Введя новые переменные , уравнение квадрики примет вид: - это овальная квадрика.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 214 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Координаты точки и уравнение прямой в пространстве | Преобразование координат | Принцип двойственности | Теорема Дезарга | Простое отношение | Сложное отношение | Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Квадрики на проективной плоскости| Взаимное расположение прямой и квадрики

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)