Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Необходимые и достаточные условия

Читайте также:
  1. I.3 Особенности управления тормозами в зимних условиях
  2. II. Порядок и условия оплаты труда
  3. II. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ СОРЕВНОВАНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ
  4. II. Экологические условия почвообразования.
  5. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами
  6. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 1
  7. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 2

Глава II. Нелинейное программирование: экстремумы функций нескольких переменных

В этой главе мы рассматриваем элементы нелинейного программирования в рамках методов нахождения экстремумов функций нескольких переменных. С точки зрения сделанных замечаний во введении (§4), задача нахождения экстремумов функций нескольких переменных формулируется следующим образом:

f (x 1, x 2, …, xn) ® min (max)

(1)

где f, ji (i =1, 2, …, m) - некоторые функции из R п в R. При этом система ограничений может отсутствовать.

 

Безусловный экстремум функций нескольких переменных

Напомним, что если в задаче (1) отсутствует система ограничений, то задача называется задачей безусловной оптимизации.

Необходимые и достаточные условия

1.1.1. (Необходимое условие экстремума первого порядка) Пусть XR п - точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве R п и f (X) дифференцируема в точке X *. Тогда градиент функции f (X) в точке X * равен нулю:

Ñ f (X *)= 0, (1.1.1)

что равносильно

=0, i =1, 2, …, n. (1.1.2)

1.1.2. (необходимое условие экстремума второго порядка) Пусть XR п - точка локального минимума (максимума) функции f (X) на множестве R п и f (X) дважды дифференцируема в точке X *. Тогда матрица Гессе, вычисленная в точке X *, является положительно (отрицательно) полуопределённой:

H (X *)³0 (1.1.3)

(H (X *)£0) (1.1.4)

Точки, удовлетворяющие условиям (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) или (1.1.4), называются стационарными.

Условия 1.1.1 и 1.1.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f (X)= - точка X *=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, = 0 Û (3 , 3 )= 0 Û (х 1, х 2)=0

(то есть выполняются условия (1.1) и (1.2)), а также

=6 х 1, =6 х 2, = =0, H (X *)= .

(то есть выполняются условия (1.1.3) и (1.1.4)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X 1 и X 2, в которых имеют место неравенства f (X 1)< f (X *)< f (X 2): достаточно взять X 1=(0; e) и X 2=(e; 0), где e >0 - сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.1.3. (Достаточные условия экстремума) Пусть функция f (X) в точке X * дважды дифференцируема, Ñ f (X *)= 0 и H (X *)>0 (H (X *)<0). Тогда точка X * является точкой локального минимума (максимума) функции f (X) на R п.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (1.1.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу Гессе H (X).

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 2.2 или 2.3 из Главы I).

Пример. Исследовать функцию f (X)=3 x 1 x 2- x 1 - x 2 на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3 x 2- -2 x 1 x 2, =3 x 1-2 x 1 x 2- .

2. Решая систему (1.2), найдём стационарные точки функции:

Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3 x 2-3 x 1- + =0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (x 2- x 1)(3- x 2- x 1)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. x 2- x 1=0, то есть x 2= x 1. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3 x 1-3 =0, решениями которого являются x 1=0 и x 1=1. Тогда решениями системы являются Х 1=(0, 0) и Х 2=(1, 1).

Случай 2. 3- x 2- x 1=0, то есть x 2=3- x 1. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение -3 x 1+ =0, решениями которого являются x 1=0 и x 1=3. Тогда решениями системы являются Х 3=(0, 3) и Х 4=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу Гессе H (X):

=-2 х 2, =-2 х 1, = =3-2(x 1+ x 2), H (X)=

4. Определим, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие - точками минимума, какие - ни тем, ни другим. Для этого используем информацию о знакоопределённости матрицы Гессе в стационарных точках (критерии 2.2 или 2.3 из Главы I).

H (X 1)= .

Составим характеристическое уравнение и решим его:

=0 Û =0 Û (l 2-9)=0 Û l 1=3, l 2=-3.

Так как собственные значения матрицы H (X 1) имеют разные знаки, то матрица H (X 1) - знаконеопределённая (см. 2.3 из Главы I и 1.1.2), а точка X 1 не является точкой экстремума.

Для точки X 2 имеем

H (X 2)= , D1=2<0, D2= =3>0.

Так как угловые миноры матрицы Гессе знакочередуются, начиная с «-», то она является отрицательно определённой и по 1.1.3 точка X 2 является точкой локального максимума.

Для точек X 3 и X 4 имеем H (X 3)= и H (X 4)= , и у них собственные значения l 1=3+ , l 2=3- совпадают, имея различные знаки. Поэтому матрицы Гессе для этих точек являются знаконеопределёнными, и точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X 2 является точкой экстремума - максимума. Значение функции в этой точке - f (X 2)=3×1×1-1×12-12×1=1.

Ответ: (1, 1) - точка максимума, f max(X)=1.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 80 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
БИЛЕТ № 37 (продолжение)| Общие принципы методов поиска безусловного экстремума

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)