Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пучок и связка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи, решаемые с применением уравнения пучка.

Читайте также:
  1. I. Кислотно-основные свойства.
  2. I. Основные положения
  3. I. Основные положения
  4. I. Основные сведения
  5. II. 6.4. Основные виды деятельности и их развитие у человека
  6. II. Основные определения
  7. II. Состояние и основные проблемы социально-экономического развития Республики Карелия

Множество плоскостей, пересекающихся по одной прямой , называется пучком плоскостей

Теорема 5.3. Уравнение

(6.18)

есть уравнение пучка плоскостей, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (6.19)

суть уравнения двух плоскостей, пересекающихся по прямой . Любая плоскость, проходящая через прямую , определяется уравнением (6.19) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

(6.20)

Это уравнение плоскости, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное. Тогда, из

следует ,

Из следует ,

Из следует .

В итоге . (6.21)

Это условие параллельности плоскостей (6.19), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (6.18) всегда определяет некоторую плоскость.

Покажем, что любая плоскость, принадлежащая пучку определяется уравнением (6.18) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , не принадлежащую прямой . Точка и прямая определяют плоскость, принадлежащую пучку, единственным образом.

Подставив координаты точки в уравнение (6.18), получим уравнение относительно неизвестных и .

В этом уравнении выражения в круглых скобках не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным плоскостям (6.19).

Пусть

,

Тогда

(6.22)

Из (6.22) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка плоскостей в другом виде, разделив (6.18) на и положив :

(6.23)

 

Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну общую точку . Уравнение связки плоскостей имеет вид

. (6.28)

В этом уравнении фиксированы координаты точки , а коэффициенты произвольные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 243 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Числовая ось. Прямоугольные Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Направленный отрезок и его проекции на оси координат. | Определение скалярного произведения. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения. | Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов. | Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. | И прямой | Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и а) параллельной данной прямой, б) перпендикулярной данной прямой. | Уравнение первой степени и плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор. | Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Отклонение точки от плоскости.| Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение к каноническому виду уравнения прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)