Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.

Читайте также:
  1. I.3 Особенности управления тормозами в зимних условиях
  2. II. Порядок и условия оплаты труда
  3. II. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ СОРЕВНОВАНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ
  4. II. Экологические условия почвообразования.
  5. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами
  6. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 1
  7. II. Экономия на условиях труда за счет рабочего. Пренебрежение самыми необходимыми затратами – продолжение 2

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, (4.13)

то их векторное произведение имеет вид:

(4.14)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.13), получим, что

Строка (4.15) последнего выражения получена с учетом того, что

(4.16)

(Знак минус в этих произведениях получается вследствие нарушения порядка в тройке ортов .)

Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Если и , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12) и того факта, что условие при также является необходимым и достаточным.

 

 

11. Смешанное произведение 3 векторов.Геометрическая интерпретация.Свойства. Условия компланарности 3 векторов.

Определение 4.4. Если векторное произведение умножитьскалярно на вектор , то число называется смешанным произведением векторов и .

Теорема 4.6. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же перемножаемые вектора компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю.

Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов и исключим, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование (4.20)

(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).

Если же вектора и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

(4.21)

Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

12. Смешанное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах.

Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями по базису

,

то их смешанное произведение равно следующему определителю:

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:

Умножив скалярно этот вектор на вектор , получим,

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана.

 

13. Уравнение первой степени и прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Нормальный вектор. Прямая в отрезках.

Определение 5.1. Уравнение (5.1)

называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии , и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат есть полином некоторой степени.

Алгебраическая линия называется линией - го порядка если − полином степени .

Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна .

Без доказательства.

Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат , то любая прямая , принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени.

Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось совпадает с прямой, уравнение прямой «» совпадает с уравнением оси . В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится.

Пусть уравнение прямой имеет вид:

(общее уравнение прямой),

(5.1)

Пусть задана точка , координаты которой удовлетворяют уравнению.

. (5.2)

Вычитая (5.2) из (5.1), получаем:

. (5.3)

Дадим векторное истолкование уравнения (5.3).

Пусть и − координаты некоторого вектора , а и −компоненты вектора , начало которого совпадает с точкой , а конец совпадает с произвольной точкой , принадлежащей прямой.

Очевидно, что скалярное произведение

является условием ортогональности векторов и .

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Уравнение прямой в отрезках.

 

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 379 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Числовая ось. Прямоугольные Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Направленный отрезок и его проекции на оси координат. | И прямой | Нормальное уравнение прямой на плоскости. Нормирующий множитель. Отклонение точки от прямой. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и проходящей через заданную точку. | Пучок прямых. Задача о нахождении прямой, принадлежащей пучку и а) параллельной данной прямой, б) перпендикулярной данной прямой. | Уравнение первой степени и плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор. | Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, не лежащие на одной прямой. | Отклонение точки от плоскости. | Пучок и связка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи, решаемые с применением уравнения пучка. | Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Приведение к каноническому виду уравнения прямой, заданной пересечением 2-х плоскостей. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение скалярного произведения. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения.| Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)