Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Признаки делимости на 2 и 5.

Читайте также:
  1. Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
  2. В.3 Понятие делового общения, признаки, цель, структура.
  3. В.Понятие и признаки фирменных наименований.
  4. Вместе с тем уже в стадии возбуждения дела признаки должны быть сопоставлены с элементами состава преступления, предусмотренного определенной уголовно-правовой нормой.
  5. Возникновение права. Пути формирования права. Признаки, отличающие право от социальных норм первобытнообщинного строя. Функции права в раннеклассовых обществах.
  6. Возрастные признаки субъекта преступления
  7. ВОПРОС 3. Общественно опасное деяние, его признаки и формы.

Число тогда и только тогда делится на 2, когда оно оканчивается четной цифрой.

Число тогда и только тогда делится на 5, когда оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Доказательство. Любое число S в десятичной системе счисления представимо в виде:

S = аn ·10 n + аn -1 · 10 n -1+... + а 1 · 10 + а0.

Очевидно, все слагаемые, кроме последнего, делятся на 2 и на 5, ведь 10 2 и 10 5.

Что можно сказать о числе S? Делится ли оно на 2 и на 5? Все зависит от а 0 (от последней цифры). a 0 2 Þ S 2, а 0 5 Þ S 5(свойство о делимости суммы на число). Обратно, S 2 Þ а 0 2,
S
5 Þ а 0 5(свойство о делимости разности на число).

Значит, S 2 Û а 0 2; S 5 Û а 0 5.

Все аi цифры, 0 ≤ аi £ 9. То есть на 2 будут делиться числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8, а на 5 числа, оканчивающиеся на 0, 5. И только такие числа.

Признаки делимости на 2 и 5 не случайно одинаковы. 2 и 5 – это делители числа 10 – основания десятичной системы счисления.

Признаки делимости на 4 и 25.

Число тогда и только тогда делится на 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.

Число тогда и только тогда делится на 25, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 25, т.е. 00, 25, 50, 75.

Доказательство. Заметим, что числа 4 и 25 делители числа 100. Пусть S любое натуральное число, в десятичной системе счисления его можно представить так:

S = ап · 10 n + аn- 1 · 10 n -1 +... + а 2 × 102 + а 1 · 10 + а 0.

Все слагаемые, кроме последних двух, содержат множителем число 100, а потому они делятся на 4 и 25.

Делится ли S на 4 и на 25 зависит от суммы слагаемых а 1 · 10 + а 0,т.е. от числа, образованного последними двумя цифрами. Для того, чтобы S делилось на 4, достаточно чтобы а 1 · 10+ а 0делилось на 4. Обратное утверждение тоже верно.

Для того, чтобы S делилось на 25, достаточно чтобы а 1 · 10 + а 0делилось на 25, т.е. чтобы S оканчивалось на 00, 25, 50, 75. Обратное утверждение тоже верно.

Значит, S 4 Û (а 1 · 10 + а 0) 4; S 25 Û (а 1 · 10 + а 0) 25.

Выведем теперь признаки делимости на 3 и 9.

Число тогда и только тогда делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

Число тогда и только тогда делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9.

Доказательство. Пусть S – любое натуральное число. Представим его так:

S = an · 10 n + an -1· 10 n- 1 + … + a1 · 10 + a0, где an, an -1, …, a 1, a 0 цифры.

Перепишем число S так:

Очевидно, что число, записанное одними девятками, делится на 9. Т.е. все слагаемые, кроме последнего т = аn + аn -1+... + а2 + а1 + а0, делятся на 9 (по делимости суммы на число). Если т 9, то S 9.

Обратно, из S 9 Þ m 9(по делимости разности на число).

Значит, S 9 Û (аn + аn -1+... + а 2+ а 1 + а 0) 9.

Признак делимости на 3 доказывается точно также, ибо любое число, записанное одними девятками, делится на 3.

Признаки делимости на 3 и 9 одинаковы не случайно, 3 и 9 – делители числа 10 – 1, т.е. числа на 1 меньшего основания десятичной системы счисления. Заметим, что признак делимости на 3 и 9 зависит от суммы цифр числа.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 119 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Вычитание целых неотрицательных чисел | Теоретико-множественное истолкование умножения | Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком | Понятие числа | Действия над натуральными числами – мерами величин | Выбора действий и наглядной иллюстрацией условия задачи | Позиционные системы счисления | Перевод натуральных чисел из одной позиционной системы счисления в другую | Восьмеричная система счисления | Компьютеры и системы счисления |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Отношение делимости и его свойства| Признаки делимости в других позиционных системах счисления

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)