Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Отношение делимости и его свойства

Читайте также:
  1. II.7. Свойства усилительных элементов при различных способах
  2. III.1. Физические свойства и величины
  3. III.3. Влияние обратной связи на свойства усилителя.
  4. IV ОТНОШЕНИЕ КОММУНИСТОВ К РАЗЛИЧНЫМ ОППОЗИЦИОННЫМ ПАРТИЯМ
  5. IV. Отношение АК к нагреванию
  6. IV. Отношение коммунистов к различным оппозиционным партиям
  7. IV. ОТНОШЕНИЕ КОММУНИСТОВ К РАЗЛИЧНЫМ ОППОЗИЦИОННЫМ ПАРТИЯМ

 

Определение. Говорят, что число а делится на число в, если существует такое число c Î N0, что а = в · с.

В том случае, когда а делится на в пишут: а в. Читают: «а делится на в»; «а кратно в»; «в – делитель а». Например, 12 делится на 6, так как существует такое с = 2, что 12 = 6 · 2, иначе 12 6.

Замечание. Записи и а: в не равносильны. Первое обозначает, что между числами а и в имеет место отношение делимости (возможно нацело число а разделить на число в). Второе – есть обозначение частного чисел а и в.

Отношение делимости обладает рядом свойств.

1°. Нуль делится на любое натуральное число, т.е.

(" в Î N) [0 в ].

Доказательство. 0 = в · 0для любого в, отсюда по определению следует, что 0 в.

2°. Ни одно натуральное число не делится на нуль, т.е.

(" а Î N) [ а 0].

Доказательство (от противного). Пусть существует c Î N0, такое, что а = 0· с, но по условию а ≠ 0,значит ни при каком с это равенство не выполняется. Значит, наше предположение о существовании с было неверным и а 0.

3°. Любое целое неотрицательное число делится на единицу, т.е.

(" а Î N) [ а 1].

Доказательство. а = 1· а => а 1.

4°. Любое натуральное число делится само на себя (рефлексивность), т.е.(" а Î N) [ а а ].

Доказательство. а = а · 1Þ а а.

5°. Делитель в данного натурального числа а не превышает этого числа, т.е. (а в Ù а > 0) Þ (ав).

Доказательство. Так как а в, то а = в · с, где c Î N 0. Определим знак разности ав. ав = всв = в (с – 1),поскольку а > 0, то с ≥ 1, следовательно, в (с – 1) ≥ 0,значит ав ≥ 0 Þ ав.

6°. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

(" a, в Î N 0)[(a в Ù в а) Þ а = в ].

Доказательство.

1 случай. Пусть а > 0, в > 0,тогда имеем:

(по свойству 5°). Значит, а = в.

2 случай. Пусть хотя бы одно из чисел а или в равно 0.

Пусть а = 0, то в = 0по 2°, т.к. иначе в не могло бы делиться на а. Значит а = в.

7 °. Отношение делимости транзитивно, т.е.

("a, в, с Î N 0) [(a в Ù в са с ].

Доказательство. а в Þ ($ к)[ а = вк ]; в с Þ ($ )[ в = cℓ ].

а = вк = (сℓ) к = с (ℓк), ℓк – произведение двух неотрицательных целых чисел и к и потому само является целым неотрицательным, т.е. а с.

8°. Если каждое из чисел а и в делится на с, то их сумма а + в делится на с, т.е. (" a, в, с Î N 0)[(a с Ù в с) Þ (а + в) с ].

Доказательство, а с Þ а = ск, в с Þ в = cℓ.

а + в = ск + cℓ = с (к + ℓ), т.к. к + –целое неотрицательное число, значит (а + в) с.

Доказанное утверждение справедливо и в случае, когда число слагаемых больше двух.

Если каждое из чисел а 1,..., ап делится на с, то их сумма а 1+... + ап делится на с.

Кроме того, если числа а и в делятся на с, причем ав, то их разность ав делится на с.


9°. Если число а делится на с, то произведение вида ах, где x Î N 0, делится на с, т.е. а с Þ (" x Î N 0)[ ax с ].

Доказательство. а с Þ а = ск, но тогда ах = скх = с (к · х), к,
x
Î N 0, значит ах с.

Следствие из 8°, 9°.

Если каждое из чисел а 1, а 2,..., ап делится на с, то каковы бы ни были числа х 1, х 2, ..., хn число а 1 х 1 + а 2 х 2 +... + аnхn делится на с.

10°. Если ас делится на вс, причем с ≠ 0, то а делится на в, т.е. (ас вс Ù с ≠ 0) Þ а в.

Доказательство.

ас = вс · к; ас = (вк) · с Ù с ≠ 0 Þ а = вк => а в.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 163 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Сложение целых неотрицательных чисел | Вычитание целых неотрицательных чисел | Теоретико-множественное истолкование умножения | Теоретико-множественное истолкование деления и деления с остатком | Понятие числа | Действия над натуральными числами – мерами величин | Выбора действий и наглядной иллюстрацией условия задачи | Позиционные системы счисления | Перевод натуральных чисел из одной позиционной системы счисления в другую | Восьмеричная система счисления |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Компьютеры и системы счисления| Признаки делимости на 2 и 5.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)