Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Читайте также:
  1. I Цели и задачи изучения дисциплины
  2. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена подпрограмма
  3. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена Программа
  4. I. Характеристика проблемы, на решение которой направлена Программа
  5. II Разрешение космологической идеи о целокупности деления данного целого в созерцании
  6. II. Основные задачи и функции деятельности ЦБ РФ
  7. II. Основные задачи и функции медицинского персонала

Операционное исчисление используют при решении целого ряда практических задач, однако наибольшее применение оно получило при решении дифференциальных уравнений. Чтобы понять суть этого метода, рассмотрим самый простой случай – линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для простоты ограничимся линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Итак, пусть дано уравнение:

(5.1)

где , , - постоянные величины.

Требуется найти частное решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным условиям:

; (5.2)

Пусть искомое решение , его производные и правая часть уравнения (5.1) являются оригиналами.

Обозначим

, (5.3)

По теореме о дифференцировании оригинала (3.8) – (3.9) имеем:

(5.4)

(5.5)

Так как левая и правая части дифференциального уравнения (5.1) равны между собой, то, по теореме о единственности изображения, их изображения так же должны быть равны друг другу:

или

(5.6)

Уравнение (5.6) называется вспомогательным уравнением или уравнением в изображениях. Таким образом, вместо уравнения (5.1) для оригинала получено алгебраическое уравнение для его изображения (5.6). Начальные условия при этом учитываются автоматически.

Тогда из (5.6) получаем решение уравнения в изображениях:

(5.7)

Это так называемое операционное решение уравнения. Восстанавливая по оригинал, получаем уравнение для .

Данный метод особо удобен, когда линейное дифференциальное уравнение можно решить только методом вариации Лагранжа, а интегралы при этом получаются довольно сложными, либо когда правая часть представлена в виде графика или функционального ряда.


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 127 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Инвестиционная деятельность кредитной организации| ГЛАВА 1. ВЕСНА СОРОК ПЯТОГО

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)