Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Степенные ряды. Функциональный ряд вида , или , называется степенным рядом.

Читайте также:
  1. А-В-С взгляд на второстепенные эмоции
  2. В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
  3. Вещественные степенные ряды
  4. ВТОРОСТЕПЕННЫЕ ГЕРОИ ПРИДАЮТ ЦВЕТ И МНОГОМЕРНОСТЬ
  5. Разложение функций в степенные ряды
  6. Разложение функций в степенные ряды

 

Функциональный ряд вида , или , называется степенным рядом.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что , а если этот ряд расходится в точке , то он расходится при всяком , для которого .

Для всякого степенного ряда существует неотрицательное число такое, что ряд абсолютно сходится на интервале .

Число называется радиусом сходимости ряда, а интервал интервалом сходимости ряда.

Для радиуса сходимости степенного ряда справедливы формулы:

 

; .

 

Пользоваться этими формулами следует осторожно, т. к. пределы, стоящие в правых частях формул, могут не существовать. Это, например, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или нечетными степенями . В таких случаях при определении интервала сходимости следует применять признаки Даламбера или Коши непосредственно.

Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на интервале , где радиус сходимости ряда.

Пусть . Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то:

1) в интервале сходимости функция имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда;

2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т. е.

 

;

3) степенные ряды, получаемые из ряда при почленном дифференцировании и интегрировании, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

 

Пример 2.4. Найти область сходимости и абсолютной сходимости ряда:

 

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Решение. а) . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

б) . Ряд сходится абсолютно, если , т. е. в интервале . При получаем числовой ряд , который расходится, т. к. для его общего члена справедлива асимптотическая формула . В точке получаем знакочередующийся ряд , сходящийся по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости ряда – полуинтервал , а область абсолютной сходимости – интервал .

в) . Ряд сходится абсолютно, если , т. е. в интервале . При и ряд абсолютно сходится, т. к. по интегральному признаку сходится ряд

 

.

 

Поэтому область абсолютной сходимости ряда – отрезок .

г) Обозначим . Вычислим

 

.

 

Очевидно, предел существует, если , т. е. . При ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости и абсолютной сходимости ряда – интервал .

 

Найти интервал сходимости степенного ряда:

 

2.27. . 2.28. .
2.29. . 2.30. .
2.31. . 2.32. .

 

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость в концах интервала сходимости:

 

2.33. . 2.34. .
2.35. . 2.36. .
2.37. . 2.38. .
2.39. . 2.40. .
2.41. . 2.42. .

Найти область сходимости ряда:

 

2.43. . 2.44. .
2.45. . 2.46. .
2.47. . 2.48. .

 

 

Ответы: 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. . 2.32. . 2.33. , , при и расходится. 2.34. , , при сходится условно, при расходится. 2.35. , , при и расходится. 2.36. , , при и расходится. 2.37. , , при и расходится. 2.38. , , при сходится условно, при расходится. 2.39. , , при расходится. 2.40. , , при сходится абсолютно, если , и условно, если , при сходится абсолютно, если , и расходится, если . 2.41. , , при сходится абсолютно, если , и условно, если , при сходится абсолютно, если , и расходится, если . 2.42. , , при расходится. 2.43. . 2.44. . 2.45. . 2.46. . 2.47. , . 2.48. , .


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 117 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Величина называется суммой ряда, а число называется остатком ряда(тоже ряд). | Ряды с неотрицательными членами | Свойства абсолютно сходящихся рядов таковы. | Тригонометрические ряды Фурье | Моя майбутня професія – фармацевт №3 | Pharmacy is the place where combination, analysis & standardization medicine. | В аптеці №3 |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Признаки сходимости функциональных рядов| Ряды Тейлора и Маклорена

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)