Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение. Функция f(x) называется равномерно не­прерывной на множестве X

Читайте также:
  1. Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
  2. Окружность. Определение. Каноническое уравнение.
  3. Определение.
  4. Определение.
  5. Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
  6. Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Функция f(x) называется равномерно не­прерывной на множестве X, если для любого е > 0 найдется та­кое δ = δ (e) >0, что для любых двух точек х, x’ ϵ X, удовлетво­ряющие условию

l х – x'l < δ (e), выполнено неравенство l f(x) - f(x') I < ε.

Очевидно, что функция f(x), равномерно непрерывная на мно­жестве X, будет непрерывной на этом множестве.

Чтобы понять различие между понятиями равномерной не­прерывности и просто непрерывности функции f(x) на множестве X, сформулируем, что означает непрерывность функции f(x) на множестве X: для любой точки х ϵ X и любого ε > 0 найдется та­кое число δ = δ( x, ε)> 0, что для всех х’ = X, удовлетворяющих условию δ lx – x’l < (х, ε), выполнено неравенство lf(x) — f(x')l < ε. Таким образом, число δ = δ( x, e)зависит не только от ε, но и от х. Если же функция f(x) равномерно непрерывна на множе­стве X, то число δ = δ( x, ε)может быть выбрано не зависящим от х.

Пример. Функция f(x) = 1/ x непрерывна на множестве X = (0, +∞). Покажем, что она yе будет равномерно непрерывной на этом множестве.

Предположим противное, тогда для любого ε > 0 найдется такое δ = б(ε) > 0, что при

х, х' > 0, lх — х'l < б (ε), (2)

будет выполняться неравенство

l f(x) - f(x') I = l - l= < ε (3)

Пусть 0 < х < б (ε) и 0 < х' < б (ε), тогда условия (2) удовлетворены и, следовательно, имеет место неравенство (3). Из неравенства (3) следует, что при фиксированном х' (0 < x' < б (ε)) функция g(х) = ограниче­на при 0 < х < б(ε),Однако-это не так, поскольку lim g ) = + ∞. Полученное противоречие доказывает, что функция f(x) = 1/x не является

x 0+0

равномерно непрерывной на множестве X = (0, +∞).

Определение.

Колебанием ограниченной на множестве X функции f(x) называется число ω sup f(x) – inf f(x).

x x

Из определения равномерной непрерывности следует, что для любого ε > 0 найдется такое

δ = δ(ε) > 0, что колебание функции f(x) на пересечении любого отрезка [c, d] c множеством X будет меньше ε, если d — с < δ (ε).


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 85 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Свойства сходящейся последовательности | Монотонные и ограниченные последовательности. Примеры. Число е. | Подпоследовательности. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштраса. Частичные пределы. | Определение предела функции. Критерий Коши. | Теорема 4.1. Определения 1 и 2 эквивалентны. | Основные теоремы о пределах. | Замечательные пределы. | Первый замечательный предел | Зрения предельного перехода. | Непрерывные функции. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства функций непрерывных в точке| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)