Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование рациональных функций

Читайте также:
  1. II. Описание трудовых функций, входящих в профессиональный стандарт (функциональная карта вида профессиональной деятельности)
  2. А) Для финансирования задач и функций государства и местного самоуправления;
  3. Аргументы финансовых функций Excel анализа инвестиций
  4. Аргументы финансовых функций Excel анализа ценных бумаг
  5. Взвешивание. Свойства весовых функций
  6. Вывод передаточных функций регулируемого по положению ЭП постоянного тока
  7. Гипотеза о рациональных ожиданиях.

 

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, то есть отношения двух многочленов

 

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знамена-теле

Рациональная дробь называется неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь - многочлен, правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

I.

II.

III. ( не имеет действительных корней)

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I, II, III типов нами уже было рассмотрено ранее.

 

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

то дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Для определения коэффициентов применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следующем:

В правой части разложения рациональной дроби простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен , после чего знаменатель в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен , а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях, стоящих в левой и правой частях тождества, получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов .

Например:

Найти интеграл

Подынтегральная функция в данном случае представляет собой неправильную дробь. Поэтому сначала представим её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого поделим многочлен на многочлен:

Будем иметь:

Далее воспользуемся методом неопределенных коэффициентов и разложим правильную дробь на сумму простейших дробей:

Приводим дроби к общему знаменателю и, отбросив его, получаем

Откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

 

 

Отсюда A= -1, B=1

Окончательно имеем

Следовательно

Пример 2

Напишем разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей:

Приводим дроби к общему знаменателю и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 56 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Неопределенный интеграл. | Свойства неопределенного интеграла. | Метод подведения под знак дифференциала. | Интегрирование по частям. | Интегралы от степеней тригонометрических функций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен| Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)