Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл

Читайте также:
  1. D. Смысл страдания
  2. DПонятиеdиdзначение государственных гарантий на гражданской службе
  3. DПонятиеdиdзначениеdгосударственныхdгарантийdнаdгражданскойdслужбе
  4. GO Часто II. Осмысление исследовательского интервью
  5. I. Повторение отдельных звуков, несущих смысловую нагрузку, в игре.
  6. I. Понятие кредитного договора. Принципы кредитования.
  7. I. Понятие, предмет, система исполнительного производства

 

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ а, Ь ]задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (х), прямыми х = а, х =Ь и осью абсцисс у=0 (см. рис. 1.1). Говорят также о площади S под кривой у =f(x) на [ а, Ь ]).

 

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(х) на [ а, Ь ](см. рис. 1.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y =f(x), то справедливо приближенное равенство S = Sл. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

 

Понятие интегральной суммы.Пусть на [ а, b ]задана функция у = f (х). Разобьем отрезок [ а, Ь ]на п элементарных отрезков точками х0, x1..., х n: а=х012< ...<хn=Ь. На каждом отрезке [xi-1, xi ]разбиения выберем некоторую точку ξi и положим Δxi = xi – xi-1

Сумму вида

σ = f1)Δx 1 + f22 +…+ fn)Δx n = (*)

будем называть интегральной суммой для функции у =f(x) на [ а, Ь ].Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [ а, Ь ]точками х0, x1,..., xn, так и от выбора точек ξ I на каждом из отрезков разбиения [ x i-1, x i], i = 1,2,…,n.


Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция y = f (x)неотрицательна на [ а, Ь ].Отдельное слагаемое fix I интегральной суммы в этом случае равно площади S, прямоугольника со сторонами f (ξi) и Δ xi где i =1, 2,..., п (см. рис. 1.3)

Другими словами, Si это площадь под прямой у =f(xi) на отрезке [ х I-1 , хi ]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади S л = S 1+ S 2+…+ S n под ломаной, образованной на каждом из отрезков [ x i-1, хi ] прямой y =

fi), параллельной оси абсцисс (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3

Понятие определенного интеграла. Для избранного разбиения отрезка [ а, Ь ]на части обозначим через max∆ xi, максимальную из длин отрезков [ хi-1, хi ], где i =1, 2,..., п.

       
   
 

Определение: Пусть предел интегральной суммы (*) при стремлении max∆ xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х12,... и точек ξ1, ξ2,…,ξn. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у =f (x) на [ а, Ь ], обозначается

а сама функция у =f(x) называет ся интегрируемой на отрезке [ а, Ь ],т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число Ь — его верхним пределом; функция f (x) — подынтегральной функцией, вы­ражение flx)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождения ∫ f(x)dx — интегрированием функции f(x) на отрезке [ а, Ь ].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (*).


Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, опре­деленный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как ∫ f(x)dx представляет семейство функций, есть определенное число.


Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция у = f (х) неотрицательна на отрезке [ а, Ь ], где а<Ь, численно равен площади S под кривой y=f(x) на [ а, Ь ](см. рис. 1.1).

 
 

Действительно, при стремлении max ∆ хi, к нулю ло­маная (см. рис. 1.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой. Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса).

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 64 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства неопределенного интеграла.| Формула Ньютона—Лейбница

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)