Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Плохая обусловленность и некорректность

Читайте также:
  1. Возрастная обусловленность дизонтогении
  2. ДВЕ НОВОСТИ, ПЛОХАЯ И ХОРОШАЯ.
  3. Изучение себя. Простота и скромность. Обусловленность.
  4. Мотивационная обусловленность деятельности
  5. Необусловленность траты на годовые расходы из прибыли отсутствием другого имущества.
  6. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы

Исследуем зависимость числа обусловленности от соотношения коэффициентов матрицы. Если умножить второе уравнение СЛАУ в предыдущем примере на , то её решение от этого не изменится, но станет функцией от . Так как , то , ,

Число обусловленности

Число обусловленности изменяется при умножении на k, хотя умножение строки системы на число задачу не меняет. , то есть

. Таким образом

 

 

В случае спектральной нормы

, то есть =

= . График зависимости от параметра имеет вид:

Комментарий. Качественно характер графика очевиден. При или при строчка или столбец матрицы стремятся к нулю, то есть матрица “стремится” к вырожденной, у которой число Тьюринга бесконечно. Следовательно, существует такое значение , при котором условия ( cond itions) для решения СЛАУ “наиболее благоприятны”.

 

Число обусловленности характеризует априорную оценку сверху, то есть наихудшую оценку возможных ошибок решения СЛАУ. Сделаем апостериорную оценку. Пусть при решении СЛАУ получено решение . Тогда вектор невязки будет иметь вид . Так как , откуда , а , и , ясно, что . Видно, что апостериорная оценка точности решения не лучше. Показано, что и вероятностные оценки точности решения близки к априорным. Таким образом, число обусловленности даёт реальную оценку сверху возможных ошибок решения.Можно показать, что нормализация СЛАУ, то есть переход от заданной СЛАУ к равносильной системе уравнений не улучшает обусловленность матрицы . Кроме того, имеет место следующий факт. Пусть матрица диагонализируема, то есть , матрица трансформер. Тогда для любого собственного значения возмущённой матрицы найдётся собственное значение матрицы , такое, что .

Таким образом, число обусловленности характеризует наихудшую оценку влияния возмущения матрицы на её спектр.

Пример 7. Проиллюстрируем некорректность и плохую обусловленность на примере СЛАУ Этот пример предложил А.Н.Тихонов. Рассмотрим вырожденную СЛАУ: Её решение То есть, эта СЛАУ некорректна в смысловом поле конкретной задачи. А.Н. Тихонов рассматривает систему, первое уравнение которой имеет вид , а второе получается из первого умножением его на : Далее вычисляется с точностью до: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . В результате получается:

и так далее. В этих случаях получаются следующие значения для :

При точности в 100, 300 и 500 десятичных знаков компьютер выдаёт следующие результаты: .

Если вычисления производятся с конечной точностью, то отличить вырожденные и плохо обусловленные системы невозможно. Поэтому говорят о практической некорректности СЛАУ и применяют одинаковые методы борьбы с ней.

Комментарий. Если , то говорят, что СЛАУ хорошо обусловлена, если нет – плохо. Плохая обусловленность приводит к большим, но конечным изменениям в решении. Она появляется не за счёт малости по сравнению с единицей определителя А и не оттого, что знаменатель мал или обратная матрица близка к 0, а за счёт появления в обратной матрице больших членов. Появляется класс “почти вырожденных операторов ”. Можно привести пример, где определитель матрицы будет не мал по сравнению с коэффициентами. Рассмотрим диагональную матрицу которой все диагональные элементы равны 10 и диагональную матрицу , у которой все диагональные элементы равны 10, кроме последнего, равного . Тогда , а , , . Ошибка в 10-18 резко меняет поведение системы. (Точность в физике до , в астрономии до , в технике до , в психологии 10%).

Плохая обусловленность может быть как самостоятельным фактором, так и сопровождать некорректность. Ещё раз подчеркнём, что сама по себе СЛАУ не является некорректной. Некорректной она может стать только в смысловом поле конкретной задачи.

 

К.Р.

1. В пространстве найти расстояние между элементами

2. Дана матрица линейного оператора ; 1. При r=1

а) Найти cond A, если А действует в пространстве , , .

б) Найти condA, аффилированное со спектральной нормой оператора А.

в) Найти спектр и резольвенту оператора А.

2. Найти зависимость cond A от r в пространстве , , .

3. Линейный функционал в , , в точках (1,1) и (1,0) равен 2 и 5 соответственно. Найти его значение в точке (3,4) и норму.

 

4. Интегральное уравнение.

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление норм невырожденных матриц| Культурный минимум

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)