Минимизация СКО САУ с учетом ограничений.

Предположим, что исследуемая система подвержена влиянию помех со спектральной плотностью . Среднее значение квадрата ошибки системы должно быть минимальным с учетом ограничения одной из координат, например ускорения на выходе системы (рис. 2.4) (, где — максимально допустимое в системе значение ускорения).

В соответствии со сказанным ранее минимизация производится с учетом условий ограничения среднего квадрата координаты

, (2.12)

при которых выход значений координат за пределы , являющихся границами линейной части соответствующих характеристик, имеет вероятность Р, меньшую 0,003.

Исходными уравнениями для решения задачи минимизации СКО в рассматриваемом случае являются выражение для ошибки системы

(2.13)

и уравнение, связывающее параметры системы и сигналов с ограничением,

. (2.14)

Располагая уравнениями (2.13) и (2.14), можно опре­делить параметры системы, минимизирующие ошибку системы с учетом ограничения (2.14). Это достигается путем решения задачи на условный экстремум с неопределенными коэффициентами Лагранжа.

Метод Лагранжа состоит в следующем. Если необходимонайти максимум или минимум функции при дополнительном условии , искомые значения могут быть определены из условия минимума или максимума сложной функции , где — постоянная, называемая множителемЛагранжа. После определения минимума или максимума функции получают переменные как функции множителя Лагранжа . Этот множитель можно выбрать так, чтобы удовлетворялось дополнительное условие.

Таким образом, не требуется решения уравнений, связанных с ограничениями. Метод может быть распространен на любое число ограничений:

где — множители Лагранжа;

— функции, связанные с дополнительными огра­ничениями.

В рассматриваемом случае, учитывая ограничение (2.14) и заменив это выражение равенством, получим на основании метода Лагранжа

(2.15)

Находя экстремумы

при (2.16)

определим п уравнений с п+ 1неизвестным. Дополнив данные уравнения равенством

(2.17)

получим недостающее уравнение, позволяющее найти искомые параметры, минимизирующие ошибку с учетом ограничения по ускорению выходной величины САУ.

В общем случае при необходимости учета ряда ограничений (например, по выходной величине, ее скорости, ускорению и т. д.).

(2.18)

получим выражение

( 2.19)

Пример 2.3. Определить оптимальное значение параметров системы Т_опт и k_опт, если известно, что средний квадрат ускорения выходной величины , , .

Для решения задачи найдем связь ускорения выходной величины с параметрами системы:

,

где

; ;

Тогда

.

Ошибка системы

Дисперсия ошибки

.

Составим выражение для определений условного экстремума:

.

Находим частные производные:

,

Добавляем уравнение

Решаем систему трех уравнений и находим

;

Из полученных выражений следует, что чем больше допустимое значение ускорения М, тем должно быть больше значение и меньше .

Контрольные вопросы

1. Характеризуйте методику решения задач синтеза при заданной структуре без учета и с учетом ограничений.

2. На САУ воздействуют задающий сигнал со спектральной плотностью ( =2 сек-¹; =1 град²)и помеха типа белого шума со спектральной плотностью (a²=0,5 град² сек). Вычислите оптимальную полосу пропускания САУ .

Дата добавления: 2015-07-15