Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегральное уравнение связимежду статистическими характеристиками на входе и выходе линейных систем

Читайте также:
  1. DСистема dи dвиды dгосударственных dгарантий dгражданских dслужащих
  2. DСистемаdиdвидыdгосударственныхdгарантийdгражданскихdслужащих
  3. DСоциальная dзащищенность dв dсистеме dфункционирования dгосударственной dгражданской dслужбы
  4. DСоциальнаяdзащищенностьdвdсистемеdфункционированияdгосударственнойdгражданскойdслужбы
  5. Host BusПредназначена для скоростной передачи данных (64 разряда) и сигналов управления между процессором и остальными компонентами системы.
  6. I этап реформы банковской системы (подготовительный)приходится на 1988–1990 гг.
  7. I. 2. Ренин-ангиотензин-альдостероновая система и ингибиторы АПФ.

 

 

Спектральная плотность и корреляционная функция ошибки управления зависят от спектральной плотности и корреляционной функции входного сигнала, а также от структуры и параметров системы управления. Поэтому для определения среднего квадрата ошибки следует найти корреляционную функцию через спектральную плотность Sz() ошибки по известным статистическим характеристикам входного сигнала через и характеристикам (структуре и параметрам) системы.

Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть уравнение связи между статистическими характеристиками на входе и выходе линейных систем.

Для этого определим связь корреляционной функции на выходе с корреляционной функцией на входе при воздействии на стационарную систему одной реализации случайного процесса xT(t).

Если задан сигнал на входе системы x(t) и известна импульсная переходная функция системы kyx(t), то выходную величину находят с помощью интеграла свертки:

 

. (1.53)

Пусть — реализация некоторой случайной функции на входе системы. Тогда сигнал на выходе согласно интегралу свертки

 

. (1.54)

 

 

Соответственно

, (1.55)

Имея в виду, что корреляционная функция на выходе системы может быть записана в виде выражения

,

И, подставляя сюда найденные значения (1.54) и (1.55) получим

.

Меняя порядок интегрирования, найдем

.

Выражение

представляет собой корреляционную функцию сигнала на входе системы, т.е.

.

Итак, связь корреляционной функции выходной величины с корреляционной функцией входной величины и импульсной переходной функцией характеризирующей динамические свойства системы, можно представить интегральным выражением

. (1.56)

В ряде случаев бывает нужно определить не коррекционную функцию на выходе системы, а только квадрат выходной величины при ее дисперсию. Подставляя в выражение (1.56) значение , получим

. (1.57)

Формула (1.57) сравнительно сложна (далее будет определена более простая формула для вычисления через спектральные плотности).

Данное выражение упрощается, если воздействие будет иметь характер белого шума, корреляционная функция которого

, (1.58)

 

При .

 

Подставляя (1.58) в выражение (1.57), получим

. (1.59)

 

Согласно основному свойству -функции

. (1.60)

 

Следовательно,

. (1.61)

 

Итак,

(1.62)

 

Имея в виду, что , можно принять нижний предел равным 0, и, следовательно,

 

. (1.63)

 

Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной квадратической оценкой импульсной переходной функции системы.

 

Полученное выражение лежит в основе определения СКО аналитическим путем и с помощью электронных моделей.

Когда случайная функция не является центрированной, т. е. математическое ожидание тх случайной функции x(t) на входе системы отлично от нуля, то, помимо дисперсии на выходе Dv, необходимо найти математическое ожидание ту по формуле

.* (1.64)

 

Это означает, что математические ожидания при прохождении случайных функций через линейные системы преобразуются как неслучайные функции.

Если на систему действует п входных сигналов ..., , то на основании принципа суперпозиции выходную величину можно представить выражением

. (1.65)

 

Соответственно корреляционную функцию выходного сигнала Rv(x) при всех п статистически независимых стационарных случайных Rxk() сигналах (аддитивная смесь) и известных их корреляционных функциях можно найти как сумму корреляционных функций, обусловленных каждой из составляющих сигналов:

. (1.65а)

Дисперсия для случая статистически независимых выходных сигналов определяется из выражения (1.65а):

(1.65б)

 

Или

, (1.65в)

 

Т.е. дисперсия выходной величины равна сумме дисперсий обусловленных каждым входным воздействием в отдельности.

 

Если на входе САУ имеется несколько статистически связанных сигналов, то интегральное уравнение связи значительно усложняется. Появляются члены, которые содержат взаимные корреляционные функции. Корреляционную функцию выходной величины по извест­ным корреляционным и взаимным корреляционным функциям входных величин можно определить по формуле.

(1.65г)

 

Если все входные функции статистически независимы, то в (1.65г) члены с разными индексами будут равны 0 и получится выражение (1.65а).

Ранее приведены соотношения (1.56, 1.57, 1.63, 1.64) для определения характеристик стационарных случайных интервалов на выходе системы. В общем случае при приложении на вход системы с постоянными параметрами стационарного случайного сигнала выходной случайный процесс до наступления установившегося режима будет нестационарным (математическое ожидание и дисперсия изменяются во времени).

Определение реакции системы на случайный входной сигнал с учетом нестационарности выходного случайного процесса можно производить при известной импульсной переходной функции по следующим формулам:

 

 

Где t и t’ значения двух моментов времени.

 

 

В случае действия белого шума дисперсия выходного сигнала

.

 

Из (1.63) следует, что для уменьшения дисперсии сиг­нала на выходе системы, вызванного белым шумом на входе, необходима минимизация площади под кривой квадрата импульсной переходной функции в интервале времени от 0 до . Это достигается соответствующим подбором параметров системы.

 

Пример 1.1. Система представляет собой апериоди­ческое звено, для которого импульсная переходная функция

 

,

а входной сигнал имеет постоянное математическое ожи­дание и дисперсию Dx(t)=Dx. Корреляцион­ная функция

.

 

Необходимо определить математическое ожидание и дисперсию на выходе апериодического звена.

Математическое ожидание my(t) можно найти из уравнения (1.64):

 

.

 

Полученное выражение сходно с выражением, опре­деляющим реакцию апериодического звена на постоян­ный входной сигнал, роль которого в данном случае иг­рает математическое ожидание тх случайного входного сигнала x(t).

 

 

Для определения корреляционной функции на выходе периодического звена заметим, что по условиям, задачи

 

 

Интегрирование корреляционной функции в пределах изменения от до можно разбить на два интервала: от до и от до .

 

Итак,

 

 

 

После преобразований будем иметь

 

.

 

При t' = t из последнего выражения получим дисперсию выходного сигнала

.

 

Как следует из данного выражения, дисперсия сигнала на выходе апериодического звена пропорциональна дисперсии входного сигнала, пропорциональна квадрату коэффициента преобразования звена k, является функ­цией времени. По истечении достаточно большого проме­жутка времени ( и , но ) выражение для корреляционной функции будет иметь вид

,

 

а установившееся значение дисперсии ( = 0).

 

.

 

Таким образом, с течением времени дисперсия выходного сигнала принимает постоянное установившееся значение.

Дисперсия на выходе Dv тем меньше, чем больше постоянная времени Т апериодического звена. Следовательно, с помощью апериодического звена можно ослабить действие помехи.

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 128 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Процесса среднеквадратического | Стационарные случайные процессы | А – стационарного; б – нестационарного; в – стационарного, но не эргодического | Эргодические случайные процессы | Спектральная плотность стационарного эргодического случайного процесса | Некоторые свойства корреляционных функций и спектральных плотностей стационарных эргодических случайных процессов | В – случайного процесса с периодической составляющей | Белый шум | Корреляционная функция и спектральная плотность скорости изменения азимута маневрирующей цели | Спектральная плотность задающего воздействия системы наведения ракеты на цель |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Экспериментальное определение корреляционных функций, спектральных плотностей и дисперсий случайных процессов| Спектральное уравнение связи между статистическими характеристиками процессов на выходе и входе линейных систем

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)