Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Читайте также:
  1. Абсолютно сходящиеся ряды
  2. БАЗОВЫЕ ОБЩЕФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НАВЫКИ
  3. Внутренняя энергия идеального газа. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы
  4. Глава 9. МОРФОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМЫ ПИЩЕВАРЕНИЯ РЫБ
  5. Индекс неравномерности распределения рыночных долей Джини
  6. Исследование структуры на неравномерность распределения связей Е
  7. Линейно-функциональные структуры

Пусть Х0 - множество сходимости функционального ряда , а Е – некоторое множество, (случай Е = Х0 не исключен).

Определение. Будем говорить, что ряд равномерно сходится на множестве Е, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на этом множестве: .

Теорема 3. (Признак Вейерштрасса) Пусть заданы функциональный ряд , члены которого определены на некотором множестве Е, и числовой ряд с неотрицательными членами. Если 1) при всех натуральных k и всех х, справедливы неравенства fk (x) | ≤ ak и 2) ряд сходится, то ряд сходится на Е абсолютно и равномерно.

► Из условия 1) теоремы и первого признака сравнения (3˚,§ 1) следует, что ряд (х) | сходится на множестве Е; значит, (х) абсолютно сходится на этом множестве. Докажем, что , т.е., что

N n N x R ((n > nε)

Зададим ε > 0. Так как сходится, в силу критерия сходимости Коши (2˚,§ 1) существует натуральное nε такое, что при всех n > nε и любых натуральных р выполняется . Выберем некоторое n > nε. При всяком натуральном р и любых х Е имеем:

.

Перейдем в неравенстве к пределу при р→ ∞: .

Заметим: . Таким образом, для всякого ε > 0 существует nε такое, что при всех n > nε и любых х Е справедливо |Sn(x) – S(x) | < ε, что и требовалось доказать. ◄

Вообще говоря, сумма функционального ряда, члены которого непрерыв- ные (дифференцируемые) функции, не обязательно является непрерывной (дифференцируемой) функцией. Но для равномерно сходящихся рядов ука- занные свойства членов ряда передаются его сумме, о чем свидетельствуют следующие теоремы.

Теоерма 4. (О непрерывности суммы ряда) Пусть члены ряда (х) непрерывны на промежутке . Если ряд равномерно сходится на , то его сумма S(x) также непрерывна на этом промежутке.

► Так как члены ряда непрерывны, то любая его частичная сумма Sn(x) – непрерывная на функция. Значит, S(x) есть предельная функция равно- мерно сходящейся последовательности непрерывных функций; в силу теоре- мы 1 S(x) непрерывна на . ◄

Теорема 5.почленном интегрировании ряда) Пусть члены ряда (х) непрерывны на сегменте [ a;b ]. Если ряд равномерно сходится на [ a;b ], то числовой ряд сходится, причем , где S(x) – сумма ряда (х).

► Обозначим: σ = , Ι k = . Нужно доказать, что числовой ряд сходится, а число σ есть его сумма: σ = .

Последовательность {Sn (х)} частичных сумм – это последовательность непрерывных функций, равномерно сходящаяся на [ a;b ] к S(x). По теореме 2 = , а это и есть равенство σ = . ◄

Замечание. Доказанной теореме можно дать такую формулировку: если ряд сходится равномерно, то его можно почленно проинтегрировать, т.е., знак интеграла можно внести под знак бесконечной суммы:

.

Теорема 6. (О почленном дифференцировании ряда) Пусть члены ряда (х) непрерывно дифференцируемы на сегменте [ a;b ]. Если 1) ряд (х) сходится на [ a;b ] и 2) ряд сходится на [ a;b ] равномерно, то сумма S(x) ряда (х) также дифференцируема на [ a;b ], а ее производ- ная S’(x) есть сумма ряда .

► Обозначим сумму ряда через σ(х). Пусть ξ – некоторая точка промежутка (a;b ]. Рассмотрим сегмент [ a; ξ]. На этом сегменте ряд удовлетворяет всем требованиям теоремы 5; значит, этот ряд можно поч- ленно проинтегрировать по сегменту [ a; ξ]: . Так как ряды (ξ) и (а) сходятся, то = (ξ)+ (а), (свойство 5, 2˚, § 1). Отсюда: = (ξ) + (а) = S(ξ) + S(a) и S(ξ) = - S(a). Последнее равенство справедливо при любом ξ [ a;b ]. Рассматривая интег- рал как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной на [ a;b ] функции σ(х), и опираясь на теорему о дифференцируемости интег- рала с переменным верхним пределом ([5], п. 1.12) заключаем, что есть дифференцируемая функция от ξ, причем для всякого ξ [ a;b ] = σ(ξ). Теперь из равества S(ξ) = - S(a) следует: функция S дифференцируема на [ a;b ], а ее производная есть функция σ. ◄

Замечание. Таким образом, если выполнены условия теоремы 6, то функциональный ряд (х) можно почленно продифференцировать, т.е. внести знак дифференцирования под знак бесконечной суммы:

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 163 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Общие свойства числовых рядов | Ordm;. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. | Признаки сходимости произвольных рядов | Абсолютно сходящиеся ряды | Степенные ряды. | Последовательности функций | Равномерно сходящиеся последовательности функций | Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Функциональные ряды| Вещественные степенные ряды

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)