Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Добротность

Читайте также:
  1. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ВРЕМЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ. ЕГО СВЯЗЬ С ДОБРОТНОСТЬЮ ОСЦИЛЛЯТОРА
  2. Добротность

Добротность – очень емкое понятие в теории колебаний. Дело в том, что любая одномерная колебательная система всегда характеризуется двумя основными параметрами: w0 – собственной частотой и b - коэффициентом затухания. Следует отметить, что понятие коэффициента затухания вводится при условии, что сила трения, действующая на осциллятор, пропорционально скорости Fсопр ~ rV. Если закон сопротивления другой, как, например, при колебаниях с сухим трением, то введение b затруднительно. Пусть указанные два параметра ввести можно; тогда можно ввести и их отношения w0/b0 - мы получим безразмерный параметр, который и называется добротностью. Иногда в частных исследованиях вводят величины, отличающиеся от w0/b на некоторый постоянный множитель. Но это ничего не меняет.

При указанных условиях уравнение колебаний имеет вид

х¢¢ + 2b х¢ + w02 х = 0.

Здесь на осциллятор действует только собственная возвращающая сила Fв= -w02x и сила трения Fт = -2bx’, х(t) – любая колеблющаяся физическая величина: смещение частицы от положения устойчивого равновесия, сила тока в колебательном контуре, смещение столбика газа в акустическом резонаторе и т.д.

Решением уравнения (110) при условии w0 > b является затухающая гармоника (рис. 26)

х(t) = Ае -bt cos (wt + j),

где w2 = w02 - b2, а величина а = Ае -bt может рассматриваться как переменная во времени амплитуда. Пусть t - время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, т.е.

А/а = е = е-bt

за это время осциллятор успевает совершить Ne колебаний

Ne = t/Т = 1/(bТ); Т = 2p/w.

Введем параметр

,

называемый добротностью. Из (104) следует, что добротность в p раз больше числа колебаний, совершаемых за такое время, что амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

1. Рассмотрим убыль энергии осциллятора при затухающих колебаниях. Запас механической энергии

E = (к – жесткость пружины)

Отсюда

E = (101)

(рис. 24).

здесь Е0 – начальный запас энергии в системе. Продифференцируем (101) по времени и определим скорость убыли энергии осциллятора:

.

Будем считать период колебаний Т достаточно малым, таким, что Т ~ dt, что оправдано для высокодобротных колебаний, тогда изменение энергии за период из (101):

.

Таким образом, добротность осциллятора в 2p раз больше убыли его энергии за период (рис. 24).

2. Рассмотрим вынужденные колебания осциллятора и пусть

внешняя вынуждающая сила F = F0 cos wt будет гармонической. Уравнение вынужденных колебаний возьмем в виде

,

где f = - амплитуда (приведенная) внешней (вынуждающей) силы, w - ее частота.

Решение этого уравнения в виде установившихся колебаний (без учета переходного процесса) имеет вид (86 - 87):

 

х(t)=Аcos(wt+j), A(w) =

 

Функция А(w) – амплитуда установившихся колебаний, она имеет максимум на резонансной частоте

.

На этой частоте амплитуда колебаний (резонансная) имеет значение

. (102)

Эти соотношения уточняют приведенные ранее.

Из (102) находим, что на частоте близкой к нулю

A(0) =

(рис. 27)

Таким образом, слабая внешняя сила, действующая на осциллятор с частотой wр способна раскачать его до амплитуд тем больших, чем меньше b. Можно утверждать, что слабый сигнал, поступивший в колебательную систему, усиливается, причем коэффициент усиления, понимаемый как отношение амплитуды на резонансной частоте и на низких частотах, равен

K = (103)

Таким образом, добротность указывает, во сколько раз резонансная амплитуда больше амплитуды установившихся колебаний на низких частотах (рис. 24).

3. Рассмотрим сдвиг фаз между вынуждающей силой и установившимися колебаниями, задаваемый формулой (87). Преобразуем ее к виду

Отсюда при

имеет место

Таким образом, добротность равна котангенсу сдвига фаз на некоторой частоте w = 0, 618033988w0 (между вынуждающей силой и установившимися колебаниями)

Установим связь добротности с шириной частотной полосы резонансного контура. Представим схематично этот вывод. Итак, определим частотный диапазон на резонансной кривой, для которого амплитуда вынужденных колебаний в k раз меньше амплитуды в резонансе. Рассмотрим резонанс смещений. Этот диапазон и есть ширина частотной полосы по уровню 1/ k. Имеем

 

A= f0/()= ( 1/ k)Арез =( 1/ k)f0/2β (104)

 

Отсюда

20 – ω2)2 + 4β2 ω2 = 4 β2k220 - β2).

Возведем это выражение в квадрат и получим биквадратное уравнение относительно ω:

 

ω4 + ω2 (4 β2 - 2 ω20) + ω40 - 4 β2k2 ω20 +4 β4k2 = 0.

Пусть корни этого уравнения ω12 и ω22. Для дальнейшего анализа применим теорему Виетта. Имеем

 

ω12 + ω22 = - (4 β2 - 2 ω20)

ω12 * ω22 = ω4 0 - 4 β2k2 ω20

Членом, содержащим β4, мы пренебрегли ввиду его малости.

Составим выражение, содержащее разность частот ω1 и ω2:

 

1 + ω2)2 = ω12 + ω22 – 2 ω1* ω2 =

= - 4 β2 + 2 ω20 - 2 .

Составим выражение для относительной ширины частотной полосы

 

 

Окончательно имеем:

. (105)

Таким образом, относительная ширина частотной полости (по уровню 1/k) Dw/w0 обратно пропорциональна добротности осциллятора. Чем выше добротность, тем острее резонансная кривая (рис. 24).

Рассмотрим процесс установления колебаний на частоте близкой к w0 в осцилляторе, не имеющем затухания (b = 0). Свободные колебания такой осциллятор совершает на частоте w0

а вынужденные - на частоте вынуждающей силы w близкой к w0

Общее решение уравнения (80), учитывающее переходной процесс установления вынужденных колебаний и вынужденное колебание, имеет вид

(106)

Пусть колебания начинаются из состояния устойчивого равновесия и состояния покоя, но с ускорением, вызванным внешней силой с амплитудой F0. Таким образом

(107)

Найдем скорость v (t) и ускорение a(t), продифференцировав (106)

Подставив сюда начальные условия (107), найдем амплитуды A и В (постоянные интегрирования) и получим

B = -A;

Тогда общее решение (80) примет вид

Это выражение представляет собой биения.

Устремим теперь частоту вынуждающей силы w к частоте собственных колебаний осциллятора w0

(рис. 24).

Таким образом, амплитуда колебаний при раскачке осциллятора в нашем случае происходит по линейному закону в зависимости от времени. Но раскачка заканчивается, когда амплитуда достигает значения, задаваемого формулой (75). Пусть раскачка продолжается в течение времени t, тогда

отсюда

(108)

В этом выражении частота w0 фиксирована. Следовательно, время установления колебаний под действием внешней гармонической силы тем больше, чем выше добротность осциллятора.

Порядки величин добротностей некоторых осцилляторов даны в табл. 3.

 

Таблица 3

Добротность осцилляторов

 

Механические (резина) 10 на 100 Гц; 5 на 2*103 Гц; 3 на 104 Гц;

Акустические резонаторы – 50;

Радиотехнические контуры с частотой ~ 1 МГц – несколько сотен;

Медные резонаторы на СВЧ f >1МГц – 3*104;

Пьезоэлектрические кристаллы (кварц) – 5*105;

Колебания ядер атомов в эффекте Мессбауэра – 1010;

Лазерные колебания (резонатор Фабри-Перо) – 5*106;

Пульсары (нейтронные замагниченные звезды) – 7,5*1012

(Период 0,033с, замедление вращения и частоты следования импульсов 36,52 нс/сутки = 4,23*10-13. Период увеличивается в е раз за 2500 лет).

 

 

Рис. 24. Добротность как характеристика различных сторон колебательных процессов

 

 

Эти данные могут быть использованы при рассмотрении соответствующих осцилляторов.

При рассмотрении добротности колебаний следует уяснить ее роль в процессе затухания амплитуды колебаний, в потере энергии при затухании колебаний, установить ее связь с шириной частотной полосы колебательного контура по заданному уровню, с продолжительностью установления колебаний, а также с коэффициентом усиления колебаний и воспроизводимостью модуляции при усилении модулированного колебания.

Рассмотренные затухающие колебания характеризуются двумя параметрами β и ω (или ω0). В ряде случаев весьма информативным оказывается их отношение ω/β, называемое добротностью. Аналогично вводится логарифмический декремент затухания. В различных разделах физики и техники определение добротности свое и на это следует обращать внимание. Характеристика различных аспектов колебательных процессов с помощью понятия добротности представлена в таблице 3.

При выполнении работы предполагается, что учащиеся не владеют методами решения дифференциальных уравнений второго порядка. Однако они должны уметь анализировать готовые решения. В приведенной таблице 4 представлены основные колебательные уравнения и их решения. Дифференцированием следует убедиться, что данное решение действительно удовлетворяет указанному уравнению.

Таблица 4

Основные колебательные уравнения и их решения

 

Гармонические колебания
х 11 + ω02х = 0 x(t) = Acos(ω0 t - j0)
Гармонические колебания около смещенного положения устойчивого равновесия. Реализуются, когда на колеблющуюся материальную точку действует постоянная внешняя сила
х 11 + ω02х = fc x(t) = х0 + Acos(ω0 t - j0)
Гармонические колебания при силе сопротивления пропорциональной скорости
х11 + 2βх1 + ω02х = 0 (β < ω0) x(t) = A0e-βt cos(ωt + j0). ω2= ω20 – β2
Гармонические колебания при силе сопротивления пропорциональной скорости и при действии постоянной силы
х11 + 2βх1 + ω02х = fc (β < ω0) x(t) = х0 + A0e-βt cos(ωt + j0). ω2= ω20 – β2
Гармонические колебания при постоянно действующей внешней силе, которая линейно зависит от времени t.
х11 + 2βх1 + ω02х = a + bt x(t) = A0e-βt cos(ωt + j0)+α+γt, где ω2= ω20 – β2, γ = b/ ω02, α = a/ ω02 - 2 β b/ ω04
Колебания под действием внешней гармонической силы. Решение в виде установившихся колебаний
х11 + 2βх1 + ω02х = f0 cosωt x(t) = А cos(ωt - j), где A= f0/(), tg j = 2βω/(ω02 – ω2).
х11 + ω02х = f0 sinωt x(t) =
Колебания под действием внешней силы, представимой в виде ряда Фурье. Решение в виде установившихся колебаний
х11 + 2βх1 + ω02х = = f0i cosωi t x(t) = Аi cos(ωi t - ji), где Ai= f0i /(), tg ji = 2βωi /(ω02 – ωi 2).
Вынужденные колебания в нелинейной системе
х11 + ω02х +sx3 = f0 cosωt x(t) (ω02A + sA3 - f0) cosωt + cos3ωt. ( ω02)

 

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 246 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Колебания в магнитном поле | Задача 9. | Вынужденные колебания. Резонанс | Рекомендации по решению задач | Сложение колебаний | Задача 11. | Задача 12 | Релаксационные колебания | Скоростей и ускорений | Модулированные колебания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Энергетический подход к нахождению периода колебаний| Фазовые траектории

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.016 сек.)