Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задача 12

Читайте также:
  1. IV Задача 1 и задача 2
  2. VI. Общая задача чистого разума
  3. XV. СВЕРХЗАДАЧА. СКВОЗНОЕ ДЕЙСТВИЕ
  4. В чём состоит наша задача
  5. Верхний предел малой группы определяется теми задачами, ради чего собрана группа
  6. Волшебная флейта перестройки: фильм «Город Зеро» как учебная задача
  7. Вопрос 11. Принципиально различный подход к задачам прогнозирования мирового рынка в зависимости от заданного горизонта предвидения и факторов формирования рынка.

Пусть проводящая рамка в виде квадрата со стороной a подвешена в магнитном поле с индукцией B на нити, коэффициент упругости которой для кручения равен k. В начальный момент времени при равновесии вектор В скользит вдоль рамки. Сопротивление рамки R, момент инерции относительно оси О равен J, ее индуктивность ничтожно мала. Будучи выведенной из положения равновесия поворотом на угол φ, рамка совершает малые колебания вокруг вертикальной оси симметрии, проходящей через ее центр масс. Написать уравнение колебаний.

Решение.

При повороте рамки магнитный поток, пронизывающий ее, возрос до величины

Ф = ВS sin φ.

При этом в рамке возникает ЭДС Ɛи индукции и индукционный ток:

 

Ɛи = - = - BS cos φ · ; I = Ɛи /R.

 

Возникший индукционный ток порождает магнитный поток, направленный через контур рамки против . Сила F, действующая на каждую из вертикальных сторон рамки, равна

 

F = I a B sin α (α = 900).

 

Рис.20. Функция y = A e bX sin (wx + j0) – график затухающего колебания

Точки пересечения с осями: В (0, Аsin φ0), С1, С2, С3...((kπ – φ0) /ω, 0). Точки касания асимптот с графиком: А1 , А2, А3, …: (((k + ½)p - j0)/w: (- 1)k A e-bX). Экстремумы: D1, D2, D3, …. при (k p - j0 - a)/w. Точки перегиба: Е1, Е2, Е3, … при (kp - j0 + 2a)/w, где tg α = ω/b

 

 

На горизонтальные стороны рамки силы не действуют.

Силы магнитного взаимодействия создают вращающий момент направленный против возрастания угла φ: М = 2 F h. Здесь h – плечо силы F. Из рис. h = (a/2) cos φ. Как видно из рисунка, этот момент возвращающий.

Направление индукционного тока определяем по правилу Ленца, а направление силы магнитного взаимодействия по правилу левой руки.

Кроме того, силы упругости, возникающие при закручивании нити на малый угол, создают свой возвращающий момент сил

 

М1 = - k φ (k = , Jр = 0,5 πR4, G = , Jр – момент инерции сечения подвеса в виде проволоки радиуса R, Е – модуль Юнга и μ – коэффициент Пуассона материала проволоки).

В приближении малых углов поворота имеем

 

Ф = В а2, Ɛи = -- B а2 , I = - .

 

 

Рис. 21. Рамка, колеблющаяся в магнитном поле

 

Уравнение моментов для движения рамки представляется в виде

 

J φ11 + φ1 + αφ = 0.

Оно легко приводится к стандартному виду при

 

2β = , ω0 2 = .

Разумеется, колебания возникнут при ω0 > β.

Крутильные колебания

Крутильные колебания достаточно часто встречаются в природе и технике. Здесь мы продемонстрируем, как производится учет сил трения, приводящих к затуханию таких колебаний.

Произведем учет сил вязкости при крутильных колебаниях, которые обусловливаютсязатуханием колебаний. Сила вязкости, действующая на тело при его движении в газе, определяется по формуле: Fв = η. grad v.dS, grad v = dV/dX - градиент скорости при движении твердого тела в жидкости или газе, dS - площадь соприкосновения твердого тела с потоком газа, η – коэффициент вязкости. Условия обтекания твердых тел газами таковы, что на поверхности тел частицы жидкости имеют ту же линейную скорость, что и тела (эффект прилипания).

Решим конкретную задачу:

Диск A радиуса R, подвешенный на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями, совершает крутильные колебания вокруг своей оси OO’. Момент инерции диска относительно этой оси J, зазор между диском и каждой из плоскостей h, причем h << R. Найти вязкость газа, окружающего диск A, если период колебания диска T, а логарифмический декремент затухания λ.

Выделим на диске кольцо площадью dS на расстоянии r от центра. Площадь этого кольца определяется по формуле

 

dS = π(r+dr)2 - πr2 = 2πrdr, (78)

 

в пренебрежении бесконечно малыми 2-го порядка, содержащими dr. Линейная скорость точек этого кольца

 

v = ω.r,

где ω - угловая скорость вращения диска радиуса R. Градиент скорости на одной из сторон диска составит

 

grad v = dv/dх = v/h = ωr/h, (79)

 

т.к. при движении твердых тел в жидкости или газе имеет место «эффект прилипания», состоящий в том, что скорость жидкости на поверхности тела равна нулю.

Элемент силы вязкости действующий на рассматриваемое кольцо равен

 

dF = η. grad v.dS = η.(ωr/h) 2πrdr.

Элемент момента сил dF действующий на кольцо

 

dNв = dF.r = (2π ωr/ h) r2 dr.

 

Для того, чтобы найти полный момент сил вязкости действующий на диск, надо проинтегрировать по радиусу r.

 

.

Это полный момент сил вязкости действующих на одну плоскость. Как видно, момент сил трения (вязкости) пропорционален угловой скорости колебаний. Обратимся к уравнению движения твердого тела в виде вращения вокруг неподвижной оси под действием момента сил трения (вязкости) и момента упругих сил .

 

Jε =- Nb- Nучр= -bω - kφ,

 

где b = (πωηR4)/2h

Приведем уравнение колебаний к стандартному виду:

 

φ+ 2βφ+ ω20φ = 0,

2β = b/J; ω20 = k/J,

 

J – момент инерции колеблющегося диска. По условиям задачи с учетом 2-х поверхностей, между которыми колеблется диск. Имеем

.

Энергетические соотношения Полная механическая энергия системы состоит из кинетической энергии колеблющейся материальной точки ЕК и потенциальной энергии деформированной пружины ЕП.

Е = ЕК + ЕП = 0,5 (kx2 + mv2).

Пусть x = A0etcos(ωt + j0).

Введем обозначения (см. с. 171): sin α = ω /ω0, cos α = β /ω0, ω02 = k/m, ω 2 = ω 02 + β2.

Тогда v(t) = - A0ω0 e-βtcos(ωt + j0 - α).

E (t) = 0,5 (k A02 e-2βtcos2(ωt + j0) + m A02 ω 02 e-2βt cos2(ωt +

j0 - α)) = 0.5 k A02 e-2βt(0.5(1 + cos2(ωt + j0)+1+ cos2(ωt +

j0 - α))= 0.5 k A02 e-2βt(1+cos((2 ωt+2j0+2 ωt+2j0-2

α)/2)cos((2 ωt+2j0 -2 ωt-2j0 +2 α)/2)= 0.5k A02 e-2βt(1+cosα

cos(2ωt+2j0 -α))= 0.5k A02 e-2βt(1+(β/ω0) cos(2ωt+2j0 -α))

(80)

Зависимость E (t) представляет собой сумму экспоненты и затухающей гармоники.

 

Затухающие колебания в электрических цепях

Колебания в электрических цепях содержащих активное сопротивление (резистор) R, электроемкость С и индуктивность L также являются затухающими. Для вывода базового уравнения рассмотрим закон сохранения энергии. Работа источника тока (генератора) по перемещению электрических зарядов в цепи за время dt равна I Ɛ dt, где I - сила тока в цепи, Ɛ - напряжение на генераторе.

Эта работа переходит в тепло dQ выделяемое на резисторе и идет на изменение энергии электромагнитного поля dW. Количество выделившейся теплоты dQ = I2Rdt.

Электромагнитная энергия состоит из энергии накопленной в конденсаторе Wс = q2/2C и в индуктивности WL = LI2/2. Поэтому имеем:

I Ɛ dt = I2Rdt + dW, (81)

 

W = , .

 

Учитывая, что I = , имеем

 

Ɛ, (82)

что легко приводится к стандартному виду, если принять следующие обозначения:

 

= , ω02 = , f = .

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 88 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Гармонические колебания | Математический маятник | Пружинный маятник | Колебания в электрических цепях | Колебания в электростатическом поле | Колебания в магнитном поле | Задача 9. | Вынужденные колебания. Резонанс | Рекомендации по решению задач | Сложение колебаний |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задача 11.| Релаксационные колебания

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)