Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Задача 11.

Читайте также:
  1. IV Задача 1 и задача 2
  2. VI. Общая задача чистого разума
  3. XV. СВЕРХЗАДАЧА. СКВОЗНОЕ ДЕЙСТВИЕ
  4. В чём состоит наша задача
  5. Верхний предел малой группы определяется теми задачами, ради чего собрана группа
  6. Волшебная флейта перестройки: фильм «Город Зеро» как учебная задача
  7. Вопрос 11. Принципиально различный подход к задачам прогнозирования мирового рынка в зависимости от заданного горизонта предвидения и факторов формирования рынка.

Сложить два колебания одной частоты, совершаемые по одному направлению:

; x2(t) = 2 sin (ωt + 300);

Решение.

Приводим колебания к одному виду описания, через синусы или через косинусы. Для примера, перейдем к косинусам в x2(t).

; ;

; x2(t) = 2cos (ωt+ - ) = 2cos(ωt - ).

Уберем знак минус перед амплитудой x1(t). Этого можно и не делать, достаточно повернуть вектор колебания на π:

x1 = 5 cos(ωt + π + ) = 5 cos (ωt + ).

Сложим колебания, раскрывая скобки и собирая по отдельности члены, содержащие sin ωt и cos ωt:

 

 

Для проверки вычислим угол δ через синус и через косинус:

 

 

, ,

 

2310,802 = (2310,802 /1800).π = 4,046 рад

 

Ответ: x = 5,38 cos(ωt + 4,046 ).

 

На рис. 17 представлена векторная диаграмма сложения указанных колебаний.

 

 

Рис. 17. Векторная диаграмма сложения двух одночастотных колебаний ( - произвольный вектор)

 

Сложение разнонаправленных колебаний. Сложить колебания, совершаемые по двум несовпадающим направлениям, это значит найти траекторию точки, совершающей эти колебания, в плоскости содержащей заданные направления. Задача решается аналогично нахождению траектории материальной точки брошенной под углом к горизонту (70,71).

 

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, (x = А1coswt, y = A2 cos (wt + j) ),

всегда есть ограниченная линия (не уходящая на бесконечность):

 

a) у = (А21) x (если разность фаз j = 0) – отрезок прямой.

 

b) у = - (А21) x (если разность фаз j = ±p) – отрезок прямой.

 

c) x2/A12 + y2/A22 = 1 (если разность фаз j = ±p/2) – канонический эллипс.

 

d) x2/A12 + y2/A22 –(2xy/ А1 А2)cos(j2 -j1) = sin2(j2 - j1) – эллипс общего положения (75)

 

В общем случае выражения

х = А1cosw1t и у = А2cos(w2t +j)

задают ограниченную кривую (вписанную в прямоугольник 1 х 2) в параметрическом виде. Причем в случае рационального отношения частот w1 и w2 и сдвигов фаз колебаний траектории замкнуты и называются фигурами Лиссажу. При этом отношение частот w1/w2 равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который они вписываются.

Если указанные отношения иррациональны, то траектория точки не замыкается, однако она остается внутри упомянутого прямоугольника.

Другие варианты сложения взаимно перпендикулярных колебаний различных частот представлены на рис. 18 и 19.

Направление обхода траектории всегда можно установить, рассмотрев смещение точки за малый промежуток времени Dt. В общем случае направление обхода можно установить, рассмотрев ориентацию вектора , построенного по правилу (векторное произведение двух векторов), где, , - радиус –вектор точки в момент времени t и ее скорость в этот же момент времени. Вектор всегда перпендику лярен плоскости x,y и если он направлен против оси z правой системы координат, то фигура обходится по часовой стрелке.

Сложение колебаний различных направлений сводится к сложению взаимно перпендикулярных колебаний.

 

 

 

 

 


1 2

 

3 4

 

 

5 6

 

7 8

 

Рис. 19. Фигуры Лиссажу

1. - x = A cos(2ωt + φ), y = B cos(ωt); 2. - x = A cos(2ωt), y = B cos(ωt + φ); 3. - x = A sin(2ωt + φ), y = B sin(ωt); 4. - x = A sin(2ωt), y = B sin(ωt + φ); 5. - x = A cos(ωt), y = B cos(2ωt + φ); 6. - x = A cos(ωt + φ), y = B cos(2ωt); 7. - x = A sin(ωt), y = B sin(2ωt + φ);

8. - x = A sin(ωt + φ), y = B sin(2ωt), (А = 1, В = 4, φ = 1350)

 


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке | Гармонические колебания | Математический маятник | Пружинный маятник | Колебания в электрических цепях | Колебания в электростатическом поле | Колебания в магнитном поле | Задача 9. | Вынужденные колебания. Резонанс | Рекомендации по решению задач |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Сложение колебаний| Задача 12

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)