Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Сложение колебаний

Читайте также:
  1. Аналитическая модель проявления сезонных колебаний
  2. Б) Частота колебаний физического маятника.
  3. Векторные диаграммы для представления гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Энергия колебательного движения.
  4. Виды колебаний
  5. Виды колебаний.
  6. Виды колебаний.
  7. Вопрос 1. Уравнение колебаний в контуре.

 

Проблема сложения колебаний весьма важна. Пусть тело (материальная точка) имеет возможность совершать колебания вдоль одного направления (колебания с одной степенью свободы). На это тело могут действовать периодические (гармонические) силы с одинаковыми или различными частотами, фазами, амплитудами. Возникает вопрос, каким образом будет двигаться тело, если под действием каждой из сил оно движется независимо. Такая же задача возникает и в случае движения тела в плоскости, в пространстве.

Все подобные задачи имеют важные приложения, например, в теории переходных процессов при установлении вынужденных колебаний, в теории волн, в частности при рассмотрении явлений интерференции и дифракции, в теории поляризации поперечных волн. Несколько волн, приходящих одновременно в заданную точку наблюдения, вызовут в ней колебания, которые будут складываться определенным образом, а мы всегда будем наблюдать лишь результат этого сложения. Наряду с задачей сложения колебаний актуальна задача разложения колебаний на составляющие. Так поляризатор всегда выделяет колебания заданного направления, а спектральный анализатор – колебания определенной частоты.

Итак, сложить колебания - значит сложить движения. Классическим вариантом такой задачи является задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту (Физика 9, § 18). Считается, что тело участвует одновременно в двух независимых движениях: равномерном прямолинейном по горизонтали (ось х) и равнопеременном с ускорением g по вертикали (ось у). Изменение координат со временем задается выражениями:

 

x(t) = v0cos α0· t; y(t) = v0sin α0· t – 0,5gt2, (70)

 

где v0 – скорость, а α0 – угол бросания.

Исключаем время t из x(t) и подставляем в y(t). Получаем

 

y(x) = - (1 + tg2α0)x2 + tgα0 · x. (71)

Таким образом, в данном случае сложение движений означает нахождение траектории точки на плоскости х,у.

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты совершаемых вдоль одного направления х:

х1 = А1 cos (ω1 t + α1); х2 = А2 cos (ω1 t + α2).

 

Результирующее колебание х = х 1 + х2 представим в виде

 

х = А cos (ω1 t + α)

 

А2 = А12 + А22 + 2А1 А2 cos(α1 - α2),

 

α – вспомогательный угол (см. ниже (73)).

Сложение колебаний разной частоты формально сводится к сложению одночастотных колебаний.

 

х1 = А1 cos (ω1 t + α1); х2 = А2 cos (ω2 t + α2).

 

х = А(t) cos ((А1 cos α1 + A2 cosy) + α(t))

 

с помощью преобразования w2 - w1 = W > 0, a2 + W t = y(t),

приводящего колебание х2 к виду х2 = А2 cos (ω1 t + y(t)).

Тогда амплитуда А(t) находится из выражения

 

А2(t) = А12 + А22 + 2А1 А2 cos(α1 - y(t)), (72)

 

Если разность фаз α остается постоянной во времени, то колебания называются когерентными.

При выводе этого соотношения использовано известное математическое тождество:

1 cos α1 + A2 cosy)cos ω1 t – (А1 cos α1 + A2 cosy) sin ω1 t =

А cos (ω1 t + а),

где вспомогательный угол а (в нашем случае зависящий от времени) однозначно находится из соотношений:

 

cos а = (А1 cos α1 + A2 cosy) /А,

sin а = (А1 sin α1 + A2 siny) /А. (73)

 

Если мы образуем из этих выражений tg а, то дополнительный угол не будет выражаться однозначно.

Полученные соотношения имеют простой геометрический смысл, что позволяет геометрически складывать одночастотные колебания на векторных диаграммах / 1/.

Сложение гармонических колебаний разных частот совершаемых вдоль одного направления х:

Особый интерес представляет случай, когда два скла­дываемых гармонических колебания одинакового на­правления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется б и е н и я м и.

Обозначим частоту одного из колебаний буквой ω, частоту второго колебания через ω + Δ ω. По условию Δ ω ≤ ω. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колеба­ний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих ко­лебаний были равны нулю. Практически это означает, что мы должны дождаться, пока смещения в обоих ко­лебаниях достигнут одновременно наибольшего поло­жительного значения, и в этот момент «запустить секун­домер». Тогда уравнения обоих

 


Рис. 16а. Биения и их переменная амплитуда

 

колебаний будут иметь следующий вид:

x1 = a cos ω t, x2 = a cos (ω + Δ ω) t.

Складывая эти два выражения и применяя тригоно­метрическую формулу для суммы косинусов, получаем:

х = x1+ x2 = (2 a cos ((Dw/2) t)) cos(w + Δ ω /2) t (74)

(если Δ ω < ω, то во втором множителе пренебрегаем членом Δ ω /2 по сравнению с ω). График функции (74) изображен на рис. 16а. График построен для ω/Δ ω =10. Фазовая траектория биений представлена на рис. 28.

Заключенный в скобки множитель в формуле (74) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия D ω < ω за то время, за которое множи­тель соs wt совершает несколько полных колебаний, мно­житель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (74) как гармоническое колебание частоты w, амплитуда ко­торого изменяется по некоторому периодическому за­кону.

Такой подход является весьма продуктивным при изучении сложных колебаний, которые можно описать функцией

x(t) = А(t) cos (ω1 t + α1),

где А(t) - амплитудная функция изменяющаяся со временем гораздо медленнее, чем фаза.

Если складываются однонаправленные колебания разных частот и разных амплитуд, то можно поступить так, как указано в (72). Имеем

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = А1 cos (ω1 t + α1) +А2 cos (ω2 t + α2) = А1 cos (ω1 t + α1) +А1 cos (ω2 t + α2)+ (A2 - А1)cos (ω2 t + α2) = 2 A1cos()cos() +

+ (A2 - А1)cos (ω2 t + α2).

График этой функции представлен на рис. 16 б и является графиком биений. Рис. 16 а иногда называют графиком чистых биений.


Рис. 16 б. График биений – результат сложения колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными фазами

 

Рис. 16 с. Векторная диаграмма сложения разночастотных колебаний

 

Можно дать геометрическую трактовку сложению разночастотных колебаний. Как следует из рис.16 с, вектор первого колебания строится по обычным правилам, а вектор второго колебания равномерно вращается вокруг конца первого с разностной частотой.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 201 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Требования к выполнению курсового проекта (работы) | Исходные положения. Теория и типовые задачи в пояснительной записке | Гармонические колебания | Математический маятник | Пружинный маятник | Колебания в электрических цепях | Колебания в электростатическом поле | Колебания в магнитном поле | Задача 9. | Вынужденные колебания. Резонанс |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Рекомендации по решению задач| Задача 11.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)