Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вероятность поражения целей

Читайте также:
  1. II. Группировка месторождений по сложности геологического строения для целей разведки
  2. II. Группировка урановых месторождений по сложности геологического строения для целей разведки
  3. Анализ будущих целей конкурента
  4. Атипичные формы алкогольного поражения мозга
  5. Вероятность и необратимость
  6. Вероятность появления события. Свойства вероятности

Вероятность попадания, показывая степень объективной возможно­сти попадания в цель, уже является некоторым критерием, определяю­щим действительность данной стрельбы. Однако сама по себе вероят­ность попадания не дает ответа на целый ряд практических вопросов, знание которых необходимо для эффективного использования оружия. Так, вероятность попадания не отвечает на вопрос о том, сколько в среднем можно ожидать попаданий в цель, если при данной вероятности попадания по ней будет израсходовано определенное количество боепри­пасов, или какова вероятность попасть в цель хотя бы одним снарядом, или какой процент пораженных фигур можно рассчитывать при стрельбе данным количеством патронов по групповой цели.

Решение подобных вопросов связано с понятиями о вероятности по­ражения цели и математическом ожидании числа попаданий в цель.

Математическое ожидание числа попаданий

В практике стрельбы часто надо знать, на какое количество попада­ний в среднем можно рассчитывать, если в данных условиях по цели будет произведено определенное количество выстрелов.

Из главы «Сведения из теории вероятностей» известно, что среднее ожидаемое значение какой-либо случайной величины называется мате­матическим ожиданием данной величины. Математическое ожидание оп­ределяется как сумма парных произведений частных значений данной величины на соответствующую ей вероятность:

МОЖ (Х) = Х1·Р1 + Х2·Р2+ …+Хn ·Pn.

Таким образом, математическое ожидание числа попаданий при од­ном выстреле (a1) найдется из выражения:

МОЖ (числа попаданий) 1 = 1 · Рф + 0 · q,

где а 1 – математическое ожидание числа попаданий при одном выстреле;

Рф – вероятность попадания в фигуру;

q – вероятность промаха, равная (1- Рф).

Так как второй член произведения равен нулю, можно записать: а 1= Рф, т. е. При одном выстреле математическое ожидание числа попа­даний численно равно вероятности попадания.

Необходимо помнить, что это равенство только численное, т. к. ма­тематическое ожидание числа попаданий в отличие от вероятности попа­дания есть именованное число. Оно может быть целым, дробным, большим чем единица и вообще любым именованным числом, в то время как вероятность попадания отвлеченное число, которое не бывает меньше нуля и больше единицы.

Математическое ожидание числа попаданий при нескольких выстре­лах определяется на основе одной из теорем теории вероятностей, кото­рая читается следующим образом.

Математическое ожидание суммы событий равно сумме математических ожиданий этих событий:

a n= a 1 + а 2 + а 3 +... + а n.

Пример. Определить математическое ожидание числа попаданий в танк, двигающийся на огневую позицию противотанкового орудия, если по нему будет произведено 3 выстрела со следующими вероятностями по­падания: 0,3; 0,6; 0,9.

Решение. 1. Математическое ожидание числа попаданий при каж­дом выстреле численно равно вероятности попадания.

А) При первом выстреле: а 1 = р 1=0,3 попадания.

Б) При втором выстреле: а 2= р 2 =0,6 попадания.

В)При третьем выстреле: а 3= р 3= 0,9 попадания.

3. На основе вышеприведенной теоремы определим математическое ожидание числа попаданий при трех выстрелах:

а з= а 1 + а 2 + а 3= 0,3+0,6+0,9=1,8 попаданий.

Если вероятность попадания от выстрела к выстрелу не изменяется, то математические ожидания числа попаданий при каждом выстреле будут равными между собой. В этом случае можно записать: аn =n·a1 или, учитывая, что a1 = Р, аn = n· Р,

где n – число предпо­лагаемых выстрелов.

Математическое ожидание числа попаданий есть среднее возмож­ное число попаданий, которое может быть получено при большом числе выстрелов в возможно одинаковых условиях.

Пример. Определить, сколько в среднем можно ожидать попаданий при стрельбе короткими очередями по поясной мишени из автомата Ка­лашникова (АК74) на дальность 200 м, если СТП совпадает с серединой нижнего обреза цели и по цели будет израсходовано 9 патронов.

Решение. 1. Определим вероятность попадания в фигуру

Вц=Вб =0,11 м.

; ; .

; ; Pб=Ф(2,27)=0,874.

Рф=Рв·Рб; Рф=0,5·0,874=0,437.

Кф в данном случае применять не следует, так как фигурные очер­тания цели выходят за пределы эллипса рассеивания.

4. Определим среднее ожидаемое число попаданий.

An = n·р; аn=9·0,437=3,933; аn≈ 4 попадания.

Найденный ответ «≈4 попадания» необходимо понимать следующим образом. При каждой отдельной стрельбе может быть различное число попаданий: от нуля (все промахи) до 9 попаданий. Однако, при большом числе аналогичных стрельб в среднем на каждые 9 выстрелов будет при­ходиться 4 попадания.

Формула аn =n ·р применима для определения математического ожидания числа попаданий в цель при стрельбе как одиночными выст­релами, так и очередями (залпами) при условии, что вероятность попа­дания р от выстрела к выстрелу не изменяется.

При стрельбе очередями, когда вероятность попадания первых (Р 1) и последующих (Р посл.) снарядов (пуль) неодинакова, математическое ожидание числа попаданий можно определить по формуле:

Аn =n1·P1+ n посл.· P посл.,

где n 1 – число первых снарядов (пуль);

P 1 – вероятность попадания каждого из первых снарядов (пуль);

n посл. – число последующих снарядов в очереди;

Р посл. – вероятность попадания последующих снарядов очереди.

Пример. Определить математическое ожидание числа попаданий при стрельбе тремя очередями, если общее число всех выстрелов равно 12, а вероятность попадания для каждого первого Р 1 =0,2, а для каждо­го последующего Р посл. =0,1.

Решение. Аn=n1 · P1 + nпосл.· Рпосл. = 3·0,2+9·0,1 = 1,5 попадания.

 

Вероятность поражения цели (надежность стрельбы)

Математическое ожидание числа попаданий, являясь определенным показателем эффективности стрельбы, не дает, однако, ответа на вопрос о том, как часто может быть получен данный результат, то есть не отве­чает на вопрос о том, какова вероятность того, что при первой же стрельбе будет получено 5, 4, 3, 2 или хотя бы одно попадание в цель.

При стрельбе по живой цели достаточно получить хотя бы одно попадание, чтобы вывести ее из строя; поэтому вероятность попасть хотя бы один раз при заданном числе выстрелов называется вероятностью по­ражения живой цели или надежностью стрельбы.

Из определения вероятности поражения цели (надежности стрель­бы) видно, что вероятность поражения будет определяться по формуле вероятности появления события хотя бы один раз, выведенной в главе «Сведения из теории вероятностей»:

Р1=1-(1-р)n,

где Р 1 – вероятность поражения цели (надежность стрельбы) или ве­роятность появления события хотя бы один раз;

р – вероятность попадания при одном выстреле;

n – число выстрелов.

Пример. Пулеметчик ПКМ ведет огонь по грудной мишени на рас­стоянии 400 метров очередями в 5 патронов. Какова вероятность того, что цель будет поражена первой очередью? Стрельба ведется легкой пу­лей, СТП совпадает с центром цели.

Решение. 1. Определим вероятность попадания в грудную мишень (по приведенным размерам цели).

Рв=0,517.

; Рб=0,401.

Рф=0,517· 0,401 = 0,207; Рф,=0,207.

5. Определим вероятность поражения цели при стрельбе 5-ю патро­нами

Р1=1-(1-р)п; р1 = 1- (1-0,207)5=1- 0,7935=0,687.

Таким образом, при стрельбе в данных условиях вероятность пора­зить цель первой (так же как и любой последующей) очередью в 5 патро­нов равна 0,69.

Найденная вероятность, отвечая на вопрос о том, как часто может быть выполнена поставленная задача, характеризует степень надежно­сти данной стрельбы. Поэтому вероятность попасть хотя бы один раз в данных условиях, кроме вероятности поражения, называют еще надеж­ностью стрельбы.

Из анализа формулы видно, что вероятность поражения цели (на­дежность стрельбы) зависит от вероятности попадания и от числа выст­релов. При одном выстреле вероятность поражения равна вероятности попадания Р1=р. Чем больше вероятность попадания и число выстре­лов, тем надежнее стрельба.

Для повышения надежности стрельбы по одиночным целям в боевых условиях используют оба эти направления: или стремятся повысить ве­роятности попадания (например, огонь снайперов), или увеличивают количество патронов (применение сосредоточенного огня нескольких огневых средств).

Рассмотренная нами формула Р1 =(1-р)n применима для оп­ределения вероятности поражения не только одиночными выстрелами, но и очередями (залпами) при условии, если вероятность попадания р от выстрела к выстрелу не изменяется.

В предыдущей главе было отмечено, что при стрельбе очередями рассеивание последующих снарядов в очереди может быть больше рассеивания пер­вых и, кроме того, между СТП первых и последующих снарядов может быть некоторый разрыв.

В таких случаях вероятность попадания каждого последующего снаряда (пули) будет отличаться от вероятности попадания первого снаряда (пули) в каждой очереди выстрелов.

Порядок определения вероятности поражения цели в этом случае мо­жет быть следующим.

Пример. Стрельба ведется из автомата Калашникова по грудной фи­гуре на дальность 300 м. Определить вероятность поражения цели при стрельбе двумя очередями по три выстрела в каждой, если средняя точ­ка попадания первых и последующих пуль совпадает с центром цели.

Решение. По таблицам стрельбы (ТС № 63 ГРАУ) находим:

- при стрельбе одиночными выстрелами Вв =0,10 м, Вб =0,10 м;

- при стрельбе очередями Вв =0,17 м; Вб =0,17 м.

Высота цели 2 у 1=0,42 м, ширина 2 z 1 =0,42 м (приведенные разме­ры цели).

6. Определим вероятность поражения цели первыми (двумя) выст­релами очередей.

а) Находим вероятность попадания в цель

; ; рв=0,843.

; ; рб=0,843.

Рф = Рв · Рб; Рф =0,843 ·0,843=0,71 или 71%.

б) Находим вероятность поражения цели первыми пулями очередей Р1посл.-(1-рпосл.)n=1-(1-0,71)2 = 0,916.

7. Определим вероятность поражения цели последующими (четырь­мя) выстрелами.

а) Находим вероятность попадания в цель

; Рв=0,593.

; Рб=0,593.

Рпосл.=0,593·0,593=0,353.

б) Находим вероятность поражения

РI посл. = 1-(1-рпосл.)n =1-(1-0,353)4 = 0,825.

8. Определим вероятность поражения цели с учетом и первых, и последующих выстрелов.

Вероятность непоражения цели только первыми выстрелами равна 1-РI,1 =1-0,916=0,084 и только последующими выстрелами 1- РI посл. =1 – 0,825= =0,175.

Вероятность того, что цель не будет поражена при всех шести выст­релах, равна (1-РI,1)·(1- РI посл.) = 0,084·0,175 = 0,015.

Вероятность поражения цели при стрельбе очередями (Р I оч .)с уче­том первых и последующих выстрелов равна РI оч. =1-0,015=0,985.

Пример. Все условия задачи те же, что и в предыдущем примере, но средняя точка попадания последующих выстрелов левее центра цели на 20 см и ниже его на 20 см (рис. 62).

Решение. 1. Вероятность поражения цели первыми (двумя) выстре­лами РI,1 =0,916 (как в предыдущем примере).

9. Определим вероятность поражения цели последующими (четырь­мя) выстрелами.

а) Находим вероятность попадания.

 

 


Hа рис. 62 видно, что у1=0,41 м; у 2=0,01 м; z 1=0,41 м; z 2 = 0,01 м.

; ; .

; ; .

Рв=Рв 1+ Рв2; Рв=0,448+0,016=0,464.

; ; .

; ; .

Рб= Рб 1+ Рб2; Рб=0,448+0,016=0,464.

Р посл.= Рв+Рб; Р посл.= 0,464·0,464≈0,215.

б) Находим вероятность пора­жения цели последующими выстре­лами

Pi, поcл. =1 – (1- Рпосл.)n; Pi поcл.=1-(1-0,215)4=0,62.

в) Находим вероятность поражения цели при стрельбе обеими очередями Р1, оч. = 1 – (1 – 0,916)· (1 – 0,62) =1 –0,084·0,38=0,968.

Если стрельба ведется несколь­кими одинаковыми очередями, по­рядок определения вероятности по­ражения целей может быть еще и такой:

1. Определить вероятность по­ражения цели при стрельбе одной очередью (вышеописанным спосо­бом).

2. Определить вероятность поражения цели при стрельбе заданным числом очередей по формуле:

р i,оч. = 1 — (1 — Р 1 ,оч .)n,

где Р 1, оч. – вероятность поражения цели одной очередью;

n – число таких очередей.

Решим этим способом ту же задачу, что и в первом примере.

1. Вероятность поражения цели последующими двумя выстрелами
очереди равна: Р1, посл. =1-(1- 0,353)2=1- 0,6472=1- 0,418=0,582.

2. Вероятность поражения при стрельбе одной очередью равна:

Р1, оч. = 1-(1-0,916)·(1-0,582) =1- 0,084 · 0,418 = 0,965.

Вероятность поражения цели двумя очередями равна

Р1, оч.= 1- (1-0,965) 2=1-0,012=0,988.

Как видим, вероятность поражения цели такая же, как и в первом примере. Поэтому гораздо удобнее производить расчеты вероятности по­ражения цели при стрельбе несколькими очередями по приведенной формуле.

Для определения вероятности поражения одиночных целей при ус­ловии, что вероятность попадания от выстрела к выстрелу не меняется, можно пользоваться приложением № 1.

Данная таблица представляет собой рассчитанную формулу Р1 = 1-(1-р)п для различной величины вероятности попадания и числа выстрелов.

После того, как будет найдена вероятность попадания в мишень, например, р =0,28, вероятность поражения находится по таблице следую­щим образом: в вертикальном столбце находим значение вероятности попадания р =0,28, а в горизонтальной строчке против числа, соответст­вующего числу выстрелов n, находим вероятность поражения цели (на­дежность стрельбы), например, при пяти выстрелах – 0,81.

Пользование этой таблицей облегчает решение целого ряда задач. Однако она не оказывает помощи в решении задач при большом числе выстрелов. Для облегчения решения этой задачи пользуются зависимо­стью между математическим ожиданием числа попаданий и вероятно­стью поражения цели.

Зависимость между математическим ожиданием числа попаданий и вероятностью поражения (надежностью стрельбы)

Анализируя формулы для определения математического ожидания числа попаданий (аn = n · р) и для определения вероятности пора­жения

(Рi =1-(1-р)n), можно увидеть, что обе эти величины зависят от ве­роятности попадания и числа выстрелов. Вполне естественно, что эти две величины связаны между собой определенной зависимостью: чем больше математическое ожидание числа попаданий, тем больше вероят­ность поражения цели. (Исключение представляет случай, когда вероят­ность попадания равна нулю или единице).

Это положение позволяет составить специальные таблицы для пере­хода от математического ожидания числа попаданий к вероятности по­ражения.

Однако составление и пользование такими таблицами осложняется тем, что характер зависимости между математическим ожиданием числа попаданий и вероятностью поражения изменяется с изменением вероят­ности попадания. Например, при вероятности попадания, равной едини­це, увеличение количества выстрелов будет систематически увеличивать математическое ожидание числа попаданий. Однако вероятность пора­жения P 1 все время будет оставаться равной единице.

Для перехода от вероятности поражения к математическому ожида­нию числа попаданий можно пользоваться приложением № 1, составленным для вероятности попадания, равной 0,1. (Практически этим приложением можно пользоваться при вероятности попадания, не пре­вышающей 0,3 – 0,4).

Наличие такого приложения значительно облегчает решение задач по определению вероятности поражения цели, т. к. вместо решения формулы

Pi =1- (1-р)n, где приходится возводить дробное число в «n -ную» степень, можно решить формулу аn= n·р и по приложению № 1 определить значение вероятности поражения.

Решение вышеприведенного примера с помощью таблицы выгляде­ло бы следующим образом.

После определения вероятности попадания в фигуру Рф = 0,28 надо определить математическое ожидание числа попаданий при 5 выстрелах.

Аn =n·р; аn =5·0,28= 1,4 попадания.

По данному значению ап = 1,4 попадания по приложению №1 определя­ем, что вероятность поражения равна 0,772. Небольшое расхождение в значении вероятности поражения (Р 1), рассчитанной по формуле и определенной по таблице, получается в результате того, что таблица рассчи­тана для вероятности попадания, равной 0,1, а в нашем примере вероят­ность попадания равна 0,28.

Таким образом, наличие приложения № 2 позволяет быстро переходить от вероятности поражения к математическому ожиданию числа попада­ния и обратно, что особенно удобно при определении процента поражен­ных фигур групповой цели и при определении количества патронов, не­обходимых для выполнения той или иной огневой задачи.

 

Математическое ожидание числа пораженных фигур групповой цели

Степень наносимого поражения при стрельбе по групповым целям определяется числом (процентом) пораженных фигур, входящих в дан­ную цель. Считают, что огонь на уничтожение групповой цели соответствует поражению 80 % фигур цели, огонь на подавление соответствует по­ражению 50% фигур цели. Решая огневую задачу, необходимо иметь представление о том, каково может быть поражение цели при израсхо­довании данного количества патронов.

Для определения процента пораженных фигур при стрельбе по широ­ким целям из пулеметов применяется рассмотренная выше таблица № 1, показывающая зависимость между математическим ожи­данием числа попаданий в одну фигуру и вероятностью поражения этой фигуры.

Сущность решения задачи сводится к следующему.

Пусть на фронте АВ имеется несколько перебегающих фигур. Тре­буется определить средний процент пораженных фигур групповой цели, если по цели будет израсходовано n патронов.

Для решения этой задачи прежде всего необходимо определить ве­роятность попадания в одну из фигур данной групповой цели:

.

Зная вероятность попадания в одну фигуру и число патронов n, по формуле Р1 = 1- (1- р)n определим вероятность поражения одной фи­гуры.

Так как при определении вероятности попадания и поражения этой фигуры мы не задавались определенным положением этой фигуры, то, следовательно, она будет иметь приведенную вероятность поражения на лю­бом участке обстреливаемого фронта. Отсюда понятно, что сколько бы подобных фигур не было на данном фронте, все они будут иметь одина­ковую вероятность поражения P 1. Так как P 1 показывает вероятность поражения фигуры при данной стрельбе, то вполне естественно, что при этой стрельбе процент пораженных фигур будет равен вероятности пора­жения одной фигуры, выраженной также в процентах.

Таким образом, для определения процента пораженных фигур груп­повой цели необходимо:

а) Определить вероятность попадания в одну фигуру.

Б) По найденной вероятности попадания и числу патронов, по формуле Р1=1-(1-р)n определить вероятность поражения одной фигуры цели. Вероятность поражения одной фигуры цели численно равна про­центу пораженных фигур.

Пример. На удалении 500 м от пулемета на фронте 20 м замечена группа перебегающих солдат противника. Какой можно ожидать про­цент пораженных фигур, если по цели будет израсходовано 40 патронов? Огонь ведется пулей обр. 1908г. Ось рассеивания проходит через сере­дину высоты фигур.

Решение. 1. Определим вероятность попадания в одну фигуру.

Вв =0,19 м; так как стрельба ведется с рассеиванием по фронту, то для определения входного числа необходимо Вв увеличить в 1,75 раза.

; ;

Рв= Ф(2,27) = 0,874; .

10. Определим вероятность поражения одной фигуры, если по цели израсходовано 40 патронов.

Р1 = 1(1- р)n; P1 = 1- (1- 0,017)40=0,51; Р1=51%.

Таким образом, при стрельбе в данных условиях мы можем в сред­нем ожидать 51% пораженных фигур.

Эту же задачу проще решать используя приложение № 2, которое по математическому ожиданию числа попаданий в 1 фигуру дает значение вероятности поражения данной фигуры; последняя, как мы видели выше, численно равна проценту пораженных фигур групповой цели.

Решение вышеприведенной задачи по приложению № 2 осуществляется следующим образом.

После определения вероятности попадания в одну фигуру групповой цели необходимо найти математическое ожидание числа попаданий в эту фигуру при 40 выстрелах,

аn = n·р; аn = 40 ·0,017 = 0,68 попадания.

Затем по таблице найдем, что данному числу ап =0,68 попаданий со­ответствует вероятность поражения, равная 0,51. Это и есть ожидаемый процент пораженных фигур.

Так решается вопрос о поражении групповых и одиночных целей при заданном числе выстрелов.


Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 1339 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Причины рассеивания | В1 Б1 б | Закон рассеивания | Меры рассеивания | Зависимость между мерами рассеивания. Соотношение между величинами рассеивания по высоте и по дальности | Рассеивание данного момента. Ошибки в определении центра рассеивания | Рассеивание при стрельбе взводом | Зависимость величины рассеивания от дальности стрельбы и наклона местности | М 2м 3м 4м 5м 6м | Общее понятие о вероятности попадания. Зависимость вероятно­сти попадания от различных причин |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Способы определения вероятности попадания| Поставлен­ной огневой задачи

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.028 сек.)