Список утверждений к тесту МА-Т-8 по теме

«Числовые ряды и бесконечные произведения»

Утверждение 1. (Связь между числовыми последовательностями и числовыми рядами)

Если сходится числовой ряд , значит сходится числовая последовательность .

Утверждение 2. (Необходимое условие сходимости числового ряда)

Числовой ряд сходится тогда, когда . Обратное неверно.

Утверждение 3. (Критерий Коши сходимости числового ряда)

Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие

Утверждение 4. (Связь между сходимостью числового ряда и его остатка)

Если ряд сходится, значит остаток тоже сходится. (Верно и обратное).

Утверждение 5. (Умножение числового ряда на число, отличное от нуля)

Если ряд сходится, то сходится ряд , где и имеет место равенство

.

Утверждение 6. (Сходимость суммы и разности двух сходящихся числовых последовательностей)

Если ряды и сходятся, то сходится ряд и имеет место равенство

.

Утверждение 7. (Сочетательное свойство сходящихся числовых рядов)

Числовой ряд сходится и ряд

, составленный из сумм исходного ряда, всегда сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Утверждение 8. (Критерий сходимости положительного числового ряда)

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограниченна сверху.

Утверждение 9. (Сравнение)

Даны два положительных ряда (1) и (2) Если начиная с некоторого номера выполняется неравенство: , то из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1) или – что то же – из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Утверждение 10. (Признак Даламбера)

Если существует , тогда при ряд сходится; при ряд расходится; при о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Утверждение 11. (Признак Коши)

Если существует , тогда при ряд сходится; при ряд расходится; при о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Утверждение 12. (Признак Раабе)

Если существует , тогда при ряд сходится; при ряд расходится; при о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Утверждение 13. (Интегральный признак Коши-Маклорена)

Если функция непрерывна, положительна на , то числовой ряд сходится, если сходится и расходится, если расходится .

Утверждение 14. (Сходимость обобщенного гармонического ряда)

Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Утверждение 15. (Отсутствие универсального ряда сравнения)

Следует помнить, что универсального ряда нет.

Утверждение 16. (Связь между абсолютной сходимостью и сходимостью числового ряда)

Если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится, причем

Утверждение 17. (Теорема Римана)

Если ряд сходитсянеабсолютно,то, какое бы ни взять число (конечное, или равное ) можно так переставить слагаемые в ряде , что его сумма станет равна .

Утверждение 18. (Теорема Коши)

Если ряд сходитсяабсолютно, то ряд

, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Утверждение 19. (Теорема об умножении двух числовых рядов)

Если ряды и сходятся, причем хотя бы один из них сходится абсолютно, то сходится ряд, полученный умножением рядов и при этом его суммой будет являться , где - сумма ряда , - сумма ряда .

Утверждение 20. (Признак Абеля)

Если ряд сходится, а последовательность монотонна и ограниченна, то ряд сходится.

Утверждение 21. (Признак Дирихле)

Если частичные суммы ряда ограниченны в совокупности (то есть ), а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.

Утверждение 22. (Признак Лейбница)

Если при монотонно убывает, то ряд сходится.

Утверждение 23. (Способы вычисления и оценки остатка числового ряда)

1. Если ряд знакочередующийся, последовательность является невозрастающей,

предел общего члена равен нулю, то справедлива теорема.

Теорема. Остаток ряда по модулю не превосходит первого из отброшенных членов .

2. Если положительный ряд удовлетворяет интегральному признаку Коши-Маклорена и функция непрерывна и невозрастает на , то остаток ряда оценивается

3. Если существует ряд такой, что , тогда остаток ряда оценивается ,

Утверждение 24. (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения)

Бесконечное произведение сходится тогда, когда .

Утверждение 25. (Свойства сходящихся бесконечных произведений)

1. Начиная с некоторого номера все члены бесконечного произведения положительны.

2. Все члены бесконечного сходящегося произведения могут быть представлены в виде , где - бесконечно малая числовая последовательность.

3. Отбрасывание любого конечного числа сомножителей не повлияет на его произведение.

Утверждение 26. (Связь между сходимостью бесконечных произведений и числовых рядов)

Если бесконечное произведение сходится, значит сходится числовой ряд или .

Дата добавления: 2015-07-18