Читайте также: |
|
Функціональні ряди.
Означення 2. 1. Функціональною послідовністю називається послідовність , що складається з функцій , визначених на деякій множині X.
Наприклад, .
Означення 2. 2. Функціональним рядом називається ряд , членами якого є функції , визначені на деякій множині X.
Наприклад,
Помітимо, що при конкретному числовому значенні функціональна послідовність (функціональний ряд) перетворюється у звичайну числову послідовність (числовий ряд).
Означення 2. 3. Функціональна послідовність (функціональний ряд) називається збіжною (збіжним) у точці , якщо відповідна числова послідовність (числовий ряд) () є збіжною (збіжним).
Множина таких точок називається областю збіжності функціональної послідовності (функціонального ряду) і позначається .
Приклад 1. Знайти область збіжності функціонального ряду .
Рішення. Помітимо, що при кожному конкретному числовому значенні отриманий числовий ряд буде додатним, тому, застосувавши до нього ознака Коші, знайдемо
.
Отже, при , тобто при , функціональний ряд збігається за ознакою Коші.
При , тобто при , функціональний ряд розбігається за ознакою Коші.
При функціональний ряд перетворюється в числовий ряд , що розбігається, за необхідною ознакою збіжности ряду, тобто .
Означення 2. 4. Нехай областю збіжності функціонального ряду (функціональної послідовності) є множина . Тоді функціональний ряд (функціональна послідовність) збігається до деякого числа, що залежить від .
Це число називається сумою функціонального ряду (граничною функцією функціональної послідовності).
(
Помітимо, що сума збіжного функціонального ряду (гранична функція функціональної послідовності) визначена тільки на множині , і ці дві функції становлять інтерес із погляду їхнього зв'язку із властивостями членів ряду (функціональної послідовності). Тобто, чи є гранична функція (сума ряду) неперервною, диференційованою, інтегрувальною й т.д., якщо такими є члени ряду (послідовності).
Зауваження. Визначена в такий спосіб збіжність функціонального ряду (функціональної послідовності) називається поточковою збіжністю, тобто збіжністю в кожній точці множини . Існують й інші види збіжності, про які нижче.
З визначення суми ряду випливає, що . Тобто функціональний ряд і функціональна послідовність тісно пов'язані.
Те, що є граничною функцією функціональної послідовності на множині , відповідно до визначення границі, означає, що
(2.1)
Помітимо, що в умові (2.1) число , що залежить від , мабуть, залежить і від . У випадку, якщо існує , обране тільки по й не залежне від , яке гарантує істинність імплікації (2.1), то говорять, що послідовність збігається до своєї граничної функції рівномірно на множині , тобто
(2.3)
(2.3) – умова рівномірної збіжності послідовності на множині до граничної функції .
З того, що сума ряду є ганицею його часткових сум, випливає, що функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині до своєї суми , якщо на цій множині функціональна послідовність його часткових сум збігається до рівномірно.
Зауваження. Помітимо, що з рівномірної збіжності функціональної послідовності (функціонального ряду) на множині слідує збіжність цієї послідовності в кожній точці цієї множини (поточкова збіжність). Навпаки ж, загалом кажучи, не справедливо, тобто із поточкової збіжності не випливає рівномірна.
Визначення рівномірної збіжності приводиться на множині , що не є обов'язковим, тобто в якості може бути будь-яка множина . Тобто, рівномірна збіжність - це властивість послідовності й множини, а не тільки однієї послідовності.
З умови (2.2) рівномірно збіжної послідовності слідує, що
(2.3)
Очевидно й зворотне. Якщо виконується умова (2.3), то виконується й умова (2.2). Якщо позначити через
(2.4)
і назвати відстанню від функції до функції , то умова (4) означає, що
. (2.5)
Таким чином, рівномірна збіжність послідовності на множині рівносильна рівності (2.5).
Зауваження. Якщо функції й неперервні на множині , , то по теоремі Вейерштрасса - неперервна функція на цьому відрізку й досягає на ньому свого найбільшого значення. Тому в цьому випадку sup можна замінити на max в умові (2.4).
Означення 2. 5. Функціональний ряд на деякій множині X збігається до своєї суми рівномірно, якщо на цій множині послідовність його часткових сум збігається до функції рівномірно, тобто
(2.6 )
Оскільки , то рівномірна збіжність (2.6 ) для ряду означає, що його остача на множині X рівномірно прагне до 0, тобто
(2.7)
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 304 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Ряд вигляду | | | Властивості рівномірно збіжних рядів. |