Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема Лагранжа

Читайте также:
  1. Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).
  2. Интегральная теорема Лапласа.
  3. Лагранжа, Бернулли и Громека
  4. Лекция 5. Законы сохранения. Теорема Нетер.
  5. Предельная теорема, предельная ошибка
  6. Принцип компактности отрезка (теорема Больцано - Коши)
  7. Свойства функции Лагранжа.

Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну на інтервалі (a, b). Тоді існує на інтервалі (a, b) точка c, для якої виконується рівність

Геометричний зміст теореми. Якщо останню рівність записати у вигляді

Y

c

B

A a M

f(a) f(b)

a c b X

то із D АВМ: кутовий коефіцієнт хорди АВ. Згідно теореми існує точка з абсцисою , дотична в якій до графіка буде паралельною хорді.

Якщо покласти у формулі Коші (1) (див. 6.2) (тоді ), то отримаємо

- формулу Лагранжа.

 

6.4. Правило Лопіталя

 

Теорема 1. Нехай функції f(x) i j(x) визначенні і мають похідну в околі точки х0, а в точці х0 , тоді якщо існує границя , то існує границя ,

причому виконується рівність

Доведення. Функції і задовольняють умовам теореми Коші в околі точки , тому

,

де при , а при .

Отже, якщо , то і , тому

.

В останньому виразі замість змінної можна записати змінну , оскільки границя не залежить від позначення змінної.

 

За допомогою теореми 1 можна розкривати невизначеність вигляду , причому правило Лопіталя можно застосовувати повторно, якщо в процесі функції і їх похідні задовольняють умовам теореми.

У випадку невизначеності користуються такою теоремою.

 

Теорема 2. Нехай f i j визначені і мають похідну в околі точки

причому j(х), j¢(х)¹0 в цьому околі, тоді, якщо існує , то існує і

До викладеного додамо, що правило Лопіталя залишається справедливим при .

Зауваження. За допомогою теорем 1 і 2 розкриваються такі невизначеності:

1. і .

2. Невизначеності і за допомогою алгебраїчних перетворень зводяться до вигляду або .
3. Невизначеності і за допомогою логарифмування зводяться до невизначеності .

Далі ці випадки розглянемо на прикладах.

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Параллельное программирование. | Теорема 1. | Теорема 2. | Приклади. | A b c X | Знайти асимптоти кривих | Задача 1. | Задача 11. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теорема Ролля| Приклади

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)