Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Примеры доказательства существования предела монотонной ограниченной последовательности

Читайте также:
  1. А — частый сигнал (А), б — редкий (Б), Г — момент изменения последовательности сигналов
  2. А) Примеры описания самостоятельных изданий
  3. Антротомию сосцевидного отростка необходимо проводить в пределах треугольника
  4. Антротомию сосцевидного отростка необходимо проводить в пределах треугольника
  5. б) Примеры описания составных частей изданий
  6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
  7. Билет 8. Классическое определение вероятности. Примеры.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

.

4.4. Определение числа

Рассмотрим последовательность: Докажем, что эта последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого используем формулу бинома Ньютона:

.

Полагая здесь , , получим:

 

;

вынесем из каждой скобки числителя множитель и сократим дроби:

. ()

Теперь видно, что все слагаемые в правой части положительны и их количество увеличивается с увеличением , поэтому последовательность монотонно возрастающая; при этом очевидна её ограниченность снизу .

Чтобы показать ограниченность последовательности, в равенстве () заменим каждую скобку на число 1; в результате правая часть увеличится и получим неравенство:

;

ещё усилим это неравенство, заменив числа 3,4,5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

;

 

сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии и тоже оценим её сверху:

;

подставив эту оценку в предыдущее неравенство, получим ограниченность сверху рассматриваемой последовательности:

.

Таким образом, показано, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел, который обозначим числом : .

Число называется неперовым числом. Оно принято за основание натуральных логарифмов: и за основание показательной функции , которая называется экспонентой. Мы имеем информацию из ограниченности сверху и снизу, используя далее свойства о переходе к пределу в неравенствах и о пределе постоянной:

.

В более подробных курсах математического анализа доказывается, что число является иррациональным и имеет приближенное значение: ().

 


Дата добавления: 2015-07-12; просмотров: 81 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Упражнения для самостоятельной работы | Единственность предела | Переход к пределу в неравенствах | Теорема о зажатой последовательности | Ограниченность последовательности, связь с пределом | Упражнения для самостоятельной работы | Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях | Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях | Замечания | Примеры практического вычисления пределов. Понятие о неопределенностях |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности| Принцип компактности отрезка (теорема Больцано - Коши)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)