Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Работа и кинетическая энергия

Читайте также:
  1. A) дохода лица, работающего по найму и b) дохода самозанятого лица.
  2. III. Работа над темой
  3. Quot;Бедные и средний класс работают ради денег". "Богатые заставляют деньги работать на себя".
  4. Quot;РАБОТА" ЛЮБВИ
  5. V. Самостоятельная работа студентов.
  6. V.Игра «Мы работаем на фабрике».
  7. VIII. Самостоятельная работа студентов

По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещении называется скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1):

. (6.1)

α — угол между векторами и , FS = F × Cosα — проекция силы на направление перемещения .

Рис. 6.1

Работа силы — скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной.

Формально знак работы определяется знаком косинуса. Если — Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности.

Для того чтобы вычислить работу на конечном участке траектории, нужно рассмотреть криволинейный интеграл вектора вдоль этого участка траектории:

. (6.2)

Если в процессе движения на тело действует система сил , , …, , то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение = + + … + на направление элементарного перемещения :

FS = F 1 S + F 2 S + … + FnS.

Теперь, умножив это уравнение на dS, получим искомый результат:

FSdS = F1SdS + F2SdS + … + FnSdS,

то есть:

.

Элементарная работа равнодействующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Это утверждение справедливо и для работ на конечном участке траектории:

.

В системе СИ работа измеряется в джоулях:

1 Дж = 1 Н × 1 м.

Работа, выполняемая в единицу времени, называется мощностью:

.

Мощность — важная характеристика любого механизма. Единицей мощности является 1 Ватт. Это мощность устройства, которое ежесекундно совершает работу 1 Дж:

1 Вт = .

Теперь обратимся к теореме о кинетической энергии. Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению кинетической энергии этой точки. Докажем это положение.

Материальная точка массы m движется под действием силы . Вычислим работу силы на участке 1-2 траектории.

. (6.3)

Здесь мы воспользовались определением вектора силы и кинематическим уравнением движения .

Будем считать, что масса частицы в процессе движения не меняется, тогда:

.

Воспользуемся этим результатом в уравнении (6.3):

. (6.4)

Теперь проделаем следующее очевидное преобразование: так как V 2 = , то 2 VdV = или = VdV.

Используя это равенство в уравнении (6.4), получим окончательный результат:

. (6.5)

Величина = Е к называется кинетической энергией материальной точки.

Уравнение (6.5) является математической записью теоремы о кинетической энергии: работа силы, действующей на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии.

Важность и смысл введения понятия «работа силы» объясняется именно тем, что работа связана с изменением кинетической энергии тела:

. (6.6)

Кинетическая энергия системы тел принимается равной сумме кинетических энергий всех элементов системы.

Теорема о кинетической энергии остаётся справедливой и для случая системы тел: работа всех сил, действующих на систему материальных тел, равна изменению кинетической энергии этой системы.

Здесь важно подчеркнуть, что речь идёт о работе не только внешних сил, но и внутренних, то есть сил взаимодействия элементов системы друг с другом.

Теорема Кёнига: скорость частицы и её кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, в которой рассматривается движение частицы.

В теореме Кёнига устанавливается правило преобразования кинетической энергии при переходе из одной системы отсчёта в другую.

Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть её кинетическая энергия в системе отсчёта S равна Е к. Какова будет её энергия в системе отсчёта S ’, движущейся со скоростью относительно S? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея):

.

Возведём это равенство в квадрат

и домножим на

.

Таким образом, устанавливается связь кинетических энергий частицы в разных системах отсчёта:

. (6.7)

Обобщим этот результат на произвольную систему n материальных точек.

Для каждой частицы системы можно записать уравнение (6.7). Теперь сложим все эти уравнения:

. (6.8)

Здесь: = К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчёта S.

= — кинетическая энергия той же системы в системе отсчёта S ’.

= = , где М = — масса системы.

= = = ,

где — скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчёта S ’.

Таким образом, уравнению (6.8) можно придать такой вид:

К= + + . (6.9)

Если движущуюся систему отсчёта S ’ связать с центром масс, то в такой системе = 0. Формула теоремы Кёнига в этом случае упрощается:

(6.10)

Подводя итог, сформулируем теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Колонтитулы| Сбор клубники на фермах Финляндии до 60 дней

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)