Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

II. Точки разрыва 2 рода

Читайте также:
  1. III. С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ФЕРМЕРА
  2. Quot;Волшебные" точки.
  3. Аналогичным образом находим, выставляем и фиксируем на правом луче другие опорные точки голограммы: через сутки, неделю, месяц, год, девять лет.
  4. АНАЛОГОВЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
  5. Антропологические точки черепа.
  6. В газете написали, что на своей судовой инструкции по технике безопасности я «нарисовала цветочки и детские каракули».

Если хотя бы один из односторонних пределов (или оба) равен бесконечности, х 0 называется точкой разрыва 2-го рода.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность.

1.

 

, х = 0 – точка разрыва

 

2.

 

х ≤ 1
х > 1
,

 

3.

 

, k > 0

4.

, х = 0 – точка разрыва

В примерах 1 и 2 мы имеем точки разрыва первого рода. В примерах 3 и 4 – точки разрыва второго вида.

 

6.3. Свойства функций, непрерывных в точке.

 

1.Если f(x) и φ(х) непрерывны в точке х 0, то их сумма f(x) ± φ(х), произведение f(x) · φ(х) и частное (φ(х0) ≠ 0) являются непрерывными функциями.

Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывности функции в точке.

2.Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, то существует окрестность этой точки, где f(x) сохраняет знак.

3.Если функция у = f(х) непрерывна в точке х 0, а функция u = φ(x) непрерывна в точке х 0, то сложная функция f [ φ(x) ] непрерывна в точке х 0.

Действительно,

, т.е сложная непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке замкнутого отрезка [а,b], называется непрерывной на всем отрезке [а,b].

 

 

Проиллюстрируем графически ее свойства.

у
х
а
b

Свойство 1. (Теорема Вейерштрасса)

Если функция у = f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a; b ], то она на нем ограничена (рис.6.9).

Рис. 6.9
 

 

 


m
М
у
х
а
b
ξ
Свойство 2. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке наименьшего – m, и наибольшего – М значений.

 
Рис. 6.10
Т.е. существует т. ξ1 [ a, b ] такая, что f(ξ1)≤f(x) для любого х [ a, b ], f(ξ) = m; и на отрезке [ a, b ] существует ξ2 2= а), такая, что f(ξ2)≥f(x) для любого х [ a, b ]; f(а)=М. (рис.6.10)

 

М
у
х
а
b
ξ
m
m
М
μ

Свойство 3. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то она пробегает на нем все значения между наименьшим и наибольшим.

Пусть m < μ <M, μ – любое.

Рис. 6.11
 
Существует ξ, а <ξ<b такая, что f(ξ)=μ. (рис.6.11)

у
х
а
b
ξ

 
Свойство 4. Если непрерывная на замкнутом отрезке [a; b] функция меняет на этом отрезке знак, то на [a; b] найдется точка ξ, в которой f(ξ) = 0 (возможно и не одна) (рис. 6.12)

 

Рис. 6.12

 


х
у
а
ξ1
ξ2
ξ3
ξ4

 

f (ξ1) = f(ξ2) = f(ξ3) = f(ξ4) = 0 (рис. 6.13)

 

 

Рис. 6.13
 

 

 


Замечание 1. График непрерывной функции представляется на отрезке [ a, b ] сплошной линией.

Замечание 2. Все элементы функции непрерывны в своей области определения.

Замечание 3. Свойства непрерывных функций можно использовать для решения уравнений f(x) = 0 или неравенств вида f(x) > 0 и f(x) < 0.


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 245 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Лекция 6. Непрерывность функции.| НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)