Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывность функции

Читайте также:
  1. I. Использование функции Подбор параметра
  2. I. Основные функции и функциональные задачи управления фирмой.
  3. II. Логистические функции.
  4. III. Функции действующих лиц
  5. III. Функции и полномочия контрактной службы
  6. Акты и действия общ объединений, на которые гос возложило определенные властные функции.
  7. Алгоритм нахождения СДНФ функции, заданной таблицей истинности.

1. Основные определения

Пусть функция f (x) определена в окрестности точки x 0 V (x 0), x 0Î .

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если

. (1)

Определение 2. (по Гейне) Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0, если , выполнено .

Определение 3. (по Коши) f (x) называется непрерывной в точке х 0, если выполнено .

Определение 4. (в терминах окрестностей) Функция f (x) называется непрерывной в точке х 0, если выполнено .

Равенство (1) Û . (2).

Обозначим - приращение аргумента в точке х 0, - соответствующее приращение функции в точке х 0. Если , то . Значит, (2) Û .

Следовательно, получим эквивалентное определение.

Определение 5. Функция f (x) непрерывна в точке x 0, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Определение 6. Если функция f (x) не является непрерывной в точке x 0, (т.е. если не выполняется условие (1)), то она называется разрывной в точке x 0, а точка x 0 называется точкой разрыва функции f (x).

Точку x 0, в которой функция не определена, но определена в , также будем называть точкой разрыва, хотя в ней равенство (1) вообще не определено (нет правой части).

Пример. непрерывна в любой точке .

D Придадим значению аргумента x 0 приращение , получим точку . Тогда функция получит приращение

;

.

Следовательно, непрерывна в любой точке .D

Определение 7. Функция f (x) называется непрерывной слева (справа) в точке x 0, если ().

Теорема 1. Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке x 0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке слева и справа.

Доказательство следует из определения непрерывности и теоремы об односторонних пределах (доказать самостоятельно).

Определение 8. Функция f (x)называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если Е=[ a; b ], то функция непрерывна на [ a; b ], если она непрерывна на (a; b), а в точке а непрерывна справа и в точке b непрерывна слева.

Множество всех точек, непрерывных на отрезке [ a; b ], обозначается С[ a; b ].

Например, - значит непрерывна на [ a; b ]

Например, непрерывна на (см. пример).

 

2. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного

Теорема 2. Если функции f (x) и g (x), непрерывны в точке x 0, то (если ) непрерывны в точке x 0.

Доказательство.

Доказательство следует из теоремы об арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .

Так как и непрерывны в точке x 0, то по определению 1 и . Тогда по теореме о пределе суммы = .

Следовательно, функция непрерывна в точке x 0.

Следствие. Если функции f (x) и g (x), непрерывны на D=< a; b >, то на D непрерывны функции (если на D).

 

3. Непрерывность некоторых основных элементарных функций

1. .

D . Значит, непрерывна на .D

2. .

D . Значит, f (x)= x непрерывна на .D

3. .

D . Следовательно, непрерывна на .D

4. .

D (из п.3 и т.2). Значит, непрерывна на .D

5. -непрерывна , кроме точек, в которых , как частное непрерывных функций.

6. .

D Придадим произвольной точке приращение , получим точку , тогда функция получит приращение:

.

Надо показать, что , т. е. " e >0 $ d >0: "D x: |D x| < d Þ |D f (x 0)|< e

Û . (*)

Т. к. , то если |D x| < e, значит выполнено и неравенство (*). Поэтому надо взять d £ e.

Значит, непрерывна Þ непрерывна на .D

7. непрерывна на (доказательство аналогично ).

8. непрерывна как частное двух непрерывных функций.

9. непрерывна как частное двух непрерывных функций.

10. , D (f)= .

D Пусть . Рассмотрим случай a >1 (0< a <1 - аналогично)

1) Докажем, что функция непрерывна в точке x 0 справа, т.е. .

Выберем " e >0. Найдем d >0: " x: x 0< x < x 0+ d Û 0< x - x 0< d выполнено неравенство (3)

.

Т.к. , то , следовательно, неравенство (3) равносильно Û

. (4)

Положим . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству x - x 0< d выполнено неравенство (4), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .

2) Докажем что функция непрерывна в точке x 0 слева, т. е. .

Выберем " e >0. Найдем d >0: " x: x 0 - d < x < x 0 Û - d < x - x 0<0 выполнено неравенство (3).

Т.к. , то

.

Значит, неравенство (3) равносильно

. (5)

Возьмем Û . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству x - x 0>- d выполнено неравенство (5), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .

Из 1), 2) следует что функция f (x)= ax непрерывна в точке x 0, т. е. . Т. к. x 0 Î – произвольная точка, то показательная функция непрерывна на . D

11. (a >0, a ¹1), D (f)=(0;+¥), непрерывна как функция, обратная к показательной (теорема будет доказана позже).

 

4. Непрерывность сложной функции

Пусть функция t = g (x) определена на D (g), а функция y = f (t) определена на D (f), и " x Î D (g) t =g(xD (f). Тогда на D (g) определена сложная функция y = h (x)= f (g (x)).

Теорема 3. Если функция t = g (x) непрерывна в точке x 0Î D (g), а функция y = f (t) непрерывна в точке , то сложная функция f (g (x)) непрерывна в точке x 0, т.е. . (6)

Доказательство следует из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределе сложной функции.

Замечание. Так как , то из (6) следует

, (7)

т.е. операция предела переставима с операцией вычисления непрерывной функции. Причем (7) выполняется и в том случае когда g (x) не является непрерывной в точке x 0.

Следствие. Если функция t = g (x) непрерывна на D (g), а y = f (t) непрерывна на D (f), то сложная функция y=f (g (x)) непрерывна на D (g).

Пример. а) Доказать, что непрерывна на .

D I способ. Данная функция сложная: . Функция непрерывна на , непрерывна на Þ непрерывна на .

II способ.

. Значит, функция непрерывна в Þ непрерывна на . D

б) Исследовать на непрерывность функцию .

D определена и непрерывна в любой точке , определена и непрерывна на , значит, определена и непрерывна Û . Значит, непрерывна на . D

 

5. Применение непрерывности функций при вычислении пределов

Пример 1. Доказать .

D D

Частный случай .

Пример 2. Доказать .

D Введем новую переменную . Тогда

. D

Частный случай .

Пример 3. Доказать .

D . D

Пример 4. D . D


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 284 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Свойства непрерывных функций | Непрерывность обратной функции | Непрерывность элементарных функций | Равномерная непрерывность функций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Непрерывность функции| Точки разрыва и их классификация

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.017 сек.)