Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тема 3. Исследование функции и построение графика

Читайте также:
  1. I. Использование функции Подбор параметра
  2. I. Основные функции и функциональные задачи управления фирмой.
  3. II. Исследование эффективности применения различных экранов.
  4. II. Логистические функции.
  5. III. Функции действующих лиц
  6. III. Функции и полномочия контрактной службы
  7. А почему он молчит?». Следовательно, первое правило в созда­нии драматургии номера — такое сюжетное построение, которое не вызывало бы подобного вопроса.

Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1. найти область определения функции;

2. найти производную функции;

3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .

График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)

 

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции

Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если ─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:

или .

Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или .

Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:

или .

 

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.

 

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность

функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика с осями

координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения

функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания

функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и

вогнутости.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе,

стремящемся к границам области определения.

В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.

Вычислим производную: .

Производная обращается в ноль при и .

Построим интервалы монотонности (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Функция возрастает при и убывает при . Точка ─ точка максимума, а точка ─ точка минимума функции.

Найдем вторую производную:

 

.

 

Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый, а в интервале ─ вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.

Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты. ,

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при . Легко проверить, что эта же прямая является наклонной асимптотой при .

Построим график исследуемой функции:

Рис. 4


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Методические указания к изучению дисциплины | ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ | ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ | Интегрирование по частям в неопределенном интеграле | Интегрирование рациональных дробей | Интегрирование тригонометрических функций | ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ | Замена переменной в определенном интеграле | Объем тела вращения | ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ| ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)