Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Понятие предела Ф1П в конечной точке, на бесконечностях

Читайте также:
  1. A) философское понятие, которое отражает единство качества и количества
  2. I. Понятие издержек производства, стоимости и себестоимости продукции. Виды себестоимости.
  3. I. Семинар. Тема 1. Понятие и методологические основы системы тактико-криминалистического обеспечения раскрытия и расследования преступлений
  4. I.1. Понятие корпоративной культуры и ее уровни.
  5. III тон сердца. Понятие о ритме галопа. Диагностическое значение.
  6. V1: {{25}} 25. Страхование, понятие, основные виды
  7. Адм. Правовая норма, понятие, виды

Пусть – функция переменной , заданная на области определения . Зададим некоторое число .

Определение 1. Точка называется предельной точкой для области определения функции , если эта функция определена на некотором малом интервале , быть может, кроме самой точки .

В математическом анализе интервал называют окрестностью точки . Согласно определению, точка может входить в область определения, а может и не входить. Главное, чтобы для этой точки можно было найти такой достаточно малый интервал, в каждой точке которого функция была определена (за исключением, быть может, самой точки ).

Отметим важный факт. Для всех основных элементарных функций, если , то точка является предельной точкой для .

Пример 1. Рассмотрим функцию . Она не определена при . Но точка является предельной точкой для области определения , так как функция определена справа и слева от точки .

Введем понятие предела функции одной переменной в конечной предельной точке . Пусть переменная приближается к точке , то есть придаем переменой значения, сколь угодно близкие к , но не равные . Это обозначаем в виде и говорим “ стремится к ”. Может оказаться при этом, что соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа . Число называют конечным пределом функции (или просто пределом) в точке , и обозначают . При этом говорят, что функция сходится к числу при .

Определение 2. Число называется пределом функции в точке (), если для всех значений переменной , сколь угодно мало отличающихся от (быть может, кроме самой точки ), соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от числа .

Пример 2. Пусть , – предельная точка для . Упрощая функцию, получим (при ). Так в определении предела функции не существенно, принадлежит ли предельная точка области определения или не принадлежит, то при получаем . Значит,

.

Отметим важный факт, который позволяет практически вычислять пределы функций в конечных точках. Если функция является элементарной (составлена из основных элементарных функций) и точка , то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, то есть

.

Пример 3. Вычислить: 1) ; 2) .

Решение. 1) Имеем , . Тогда по формуле (4.1) вычисляем (символом далее обозначаем подстановку предельной точки в функцию и называем первоначальной оценкой предела).

2) Имеем , . Тогда по формуле (4.1) вычисляем .

Пусть функция определена на интервале . Тогда несобственную точку считают предельной точкой. Будем неограниченно увеличивать значения переменной () и обозначаем . Если при этом окажется, что соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от некоторого числа , то число называют пределом функции на и обозначают .

Аналогично определяют предел функции на , если функция определена на интервале и обозначают .

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 76 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Область определения и область значений Ф1П. | Основные характеристики Ф1П | Основные элементарные функции, их графики | Показательные функции | Тригонометрические функции | Лекция 4 | Следствия из первого замечательного предела | Замечательного предела. | Односторонние пределы функции одной переменной | Непрерывность функции, свойства непрерывных функций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обратные тригонометрические функции| Понятие бесконечно-малой функции, бесконечно-большой функции, их свойства. Основные теоремы о пределах Ф1П, свойства пределов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)