Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

И его стандартное представление

Читайте также:
  1. Анализ, обобщение, интерпретация и представление статистических данных
  2. Б. Представление синусоидальных величин комплексными числами.
  3. Векторное и растровое представление графической информации
  4. Визуализация, или мысленное представление
  5. Вопрос № 21. Общее представление о сенсорных процессах. Классификация видов ощущений и их характеристика. Проблема измерения ощущений.
  6. Вопрос № 33. Общее представление о характере. Основные типологии характера и его акцентуации.
  7. Глава 3 визуализация, Или Мысленное представление

Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения при определяется формулой:

, (6.15)

где – параметры распределения.

 

Определим интегральную функцию распределения для нормального закона: .

Сделаем замену ; .

Новые пределы интегрирования: ;

.

 

.

Здесь – интеграл Пуассона,

, поскольку .

 

Таким образом:

. (6.16)

Если ввести центрированную и нормированную величину , такую, что , , то

, , (6.17)

где , – дифференциальная и интегральная функции Лапласа:

, .

Графики дифференциальной и интегральной функций нормального распределения приведены на рис. 3.

  Рис. 3. Графики дифференциальной и интегральной функций нормального распределения

 

Докажем, что параметр – математическое ожидание , а параметр – среднее квадратическое отклонение .

По формуле для непрерывной случайной величины:

,

для нормального распределения имеем:

.

Сделаем замену ; ; . Новые пределы интегрирования при этом равны исходным:

.

 

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно начала координат.

Второй интеграл является интегралом Пуассона: .

Таким образом .

Дисперсия непрерывной случайной величины :

.

Тогда для нормального распределения:

.

 

Сделаем ту же замену, как и для , т. е. , тогда:

.

То есть, получим:

, . (6.18)

Для нормального распределения кривая распределения – функция – достигает максимума при и симметрична относительно линии .

Найдем вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и в промежуток :

.

Таким образом:

. (6.19)

Пример 4. Случайная величина распределена по нормальному закону и имеет плотность распределения:

.

 

Найти числовые характеристики величины и вероятность попадания ее в интервал .

Решение.

По определению функции имеем: .

Таким образом .

Тогда, вероятность попадания случайной величины в интервал по формуле (6.19) равна:

.

 

Пример 5. Автоматический станок штампует детали. Длина детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами см, . Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть см.

Решение.

;

 

; ; ; .

.

Таким образом, вероятность брака равна:

.

 

Найдем вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по модулю на величину, не превышающую (), то есть, найдем :

.

Таким образом, . (6.20)

 

Пример 6. Деталь, изготовленная на станке, считается стандартной, если отклонение ее размера от проектного не больше . Случайные отклонения распределены по нормальному закону: , . Найти, какой процент стандартных деталей изготовляется на станке.

Решение.

По условию , . Имеем:

.

Следовательно, на станке изготавливается приблизительно стандартных деталей.


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 63 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: От постоянной вероятности в независимых испытаниях | Определение случайных величин и их классификация | Закон распределения дискретной случайной величины | И их свойства | Математическое ожидание и дисперсия среднего | Случайных величин | Функция распределения вероятностей и ее свойства | Плотность распределения вероятностей и ее свойства | Числовые характеристики непрерывной случайной величины | И его числовые характеристики |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Показательный закон распределения| Правило трех сигм

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)