Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка

Читайте также:
  1. Dollar Index Cash (Индекс Долларовой Наличности), Покупка Первого Типа
  2. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  3. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  4. В изложении учеников первого круга
  5. Вести первого и второго ангелов
  6. Внимание сновидения в системе полей первого, второго и третьего внимания
  7. Второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Дифференциальное уравнение первого порядка

 

(9)

 

называется однородным относительно переменных x и y, если – однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.

Дифференциальное уравнение первого порядка

 

(10)

 

называется однородным относительно переменных x и y, если и – однородные функции одной и той же степени k относительно своих аргументов.

Функция называется однородной степени k относительно переменных x и y, если для произвольного действительного числа a выполняется равенство

 

.

 

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (как уравнение (9), так и уравнение (10)) может быть представлено в виде

 

. (11)

 

Метод интегрирования однородных дифференциальных уравнений состоит в следующем. Однородное дифференциальное уравнение приводится к виду (11). Вводится новая переменная или , где (), и после подстановки в уравнение (11) приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой функции t (x).

 

В задании 2 необходимо решить однородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

 

Задание 2. Найти общий интеграл (общее решение) дифференциального уравнения. Сделать проверку.

 

a) , b) ,

c) , d) .

Решение: Во всех случаях имеем однородные относительно переменных x и y обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Все они могут быть сведены к уравнению вида (11). В случаях a), c), d) предварительно необходимо показать, что эти уравнения являются однородными, а затем привести их к виду (11).

 

Задание 2a. .

 

Данное уравнением является уравнением первого порядка. Рассмотрим функцию . Эта функция является однородной функцией нулевой степени, так как для произвольного действительного числа a выполняется равенство

 

.

Таким образом, данное уравнением является однородным и его можно свести к уравнению (11). Для этого разделим числитель и знаменатель правой части на x:

 

; .

 

Сделаем замену переменной или , где . Найдем и подставим в преобразованное уравнение

 

; ; ;

 

; .

 

Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t (x). Заменяя и разделяя переменные, получим

 

; .

 

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

 

 

Возвращаясь к исходному уравнению, получим

 

.

 

Умножив обе части равенства на два и уединяя произвольную постоянную, получим общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными

 

.

 

Для нахождения общего интеграла исходного уравнения вернемся к старой переменной через замену :

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:

 

.

 

Сделаем проверку. Вычислим производную искомой функции как функции, заданной неявно.

, ,

 

, ,

 

; ,

 

, , .

 

Подставим найденное значение в искомое уравнение

 

 

и получим тождество (верное равенство).

 

Ответ: общий интеграл

 

Задание 2b. .

Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, однородное относительно переменных x и y. Сделаем замену переменной или , где . Найдем и подставим в исходное уравнение

 

; .

 

Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t (x). Заменяя и разделяя переменные, получим

 

; .

 

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

 

 

Интеграл, стоящий в правой части является табличным .

Найдем интеграл от дробно рациональной функции, стоящей слева. Для этого можно, например, разложить подынтегральную функцию на сумму простейших или, выделив в знаменателе полный квадрат и сделав замену переменной, прийти к табличному интегралу.

 

 

 

Тогда, возвращаясь к исходному уравнению, получим

 

, ,

 

, .

 

Возвращаясь к старой переменной, получим

 

.

 

Откуда после преобразований записываем общий интеграл

 

.

Проверка выполняется аналогично тому, как это делалось в предыдущих заданиях.

 

Ответ: общий интеграл .

 

Задание 2c. .

Данное уравнением является уравнением первого порядка. Рассмотрим функцию . Эта функция является однородной функцией нулевой степени, так как для произвольного действительно числа a выполняется равенство

 

 

Таким образом, данное уравнение является однородным и его можно решить аналогично тому, как это показано в пункте a), предварительно разделив числитель и знаменатель правой части на .

 

.

 

Сделаем замену переменной

или , ;

 

; .

 

Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t (x).

 

; ; .

 

Тогда

 

,

,

,

,

,

.

 

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:

 

.

 

Проверку выполняется аналогично предыдущим примерам.

 

Ответ: общий интеграл .

 

Задание 2d. .

 

Рассмотрим функции , . Эти функции являются однородными первой степени относительно переменных x и y. Действительно:

 

,

 

.

 

Тогда исходное уравнение может быть сведено к уравнению вида (9), а затем к виду (11).

 

,

,

.

 

Заметим, что полученное уравнение совпадает с уравнением из задания 2(a), то есть пришли к случаю, который уже рассмотрен.

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 123 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Дифференциальные уравнения | Первого порядка | II. Дифференциальное уравнение вида | Уравнения в полных дифференциалах | Дифференциальные уравнения второго порядка | Допускающие понижение порядка | Коэффициентами | Дополнительная |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
С разделяющимися переменными| I. Дифференциальное уравнение вида

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.02 сек.)