Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретические сведения. Опр. Дифференциальное уравнение

Читайте также:
  1. I. Общие сведения
  2. I.Б Выходные сведения
  3. III. Общие сведения.
  4. А) сведения о российской организации по установленной форме (приложение);
  5. Билет №10 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ А. СМИТА О РАЗДЕЛЕНИИ ТРУДА, КЛАССАХ, СТОИМОСТИ И ДОХОДАХ.
  6. Важные сведения об иерархии социального развития
  7. Валы и оси. Общие сведения

ОПР. Дифференциальное уравнение

(1)

где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x)≠0, то уравнение (1) называется неоднородным.

Если f(x)=0, то уравнение (1) называется однородным.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения У соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения и исходного неоднородного уравнения (1), т.е. у(х)= У+ и.

I. РАССМОТРИМ ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ:

(2)

Общим решением уравнения (1) является функция

(3)

где –система линейно независимых решений.

Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .

Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения (1):

1) составляют соответствующее ему характеристическое уравнение (заменяя в однородном уравнении производные от искомой функции на k в соответствующей степени, то есть на , на и на )

(4).

Полученное квадратное уравнение может иметь (в зависимости от дискриминанта ) два различных действительных решения, два совпадающих (кратный корень) действительных решения и пару комплексно-сопряженных решений;

2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение (4).

 

Корни характеристического уравнения Частные решения Общее решение однородного дифференциального уравнения
I Два действительных и различных корня, т.е. ,
II Два действительных и совпадающих корня, т.е.
III Два комплексно сопряженных решения, т.е.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

a) , b) ,

c) .

Решение. Во всех трех случаях имеем однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение найдем по приведенному выше алгоритму.

Пример a.

Составим характеристическое уравнение и решим его

; ; .

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения, т.е. имеем первый случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения

,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

 

Пример b.

Составим характеристическое уравнение

Не сложно заметить, что в правой части уравнения записан полный квадрат разности . Откуда получим .

Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных решения (или один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения

,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

Пример c.

Составим характеристическое уравнение и решим его

; ;

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных решения, т.е. имеем третий случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения ,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

.

II. РАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (1):

.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения У соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения и исходного неоднородного уравнения (1), т.е. у(х)= У+ и.

Общее решение У линейного однородного уравнения находим по алгоритму, приведенному выше.

Далее необходимо найти частное решение неоднородного уравнения. В некоторых случаях вид частного решения устанавливается по правой части исходного неоднородного уравнения.

Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид

где – многочлены степени n и m соответственно, а и b – некоторые постоянные числа, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру:

и =

где – многочлены степени , записанные с неопределенными коэффициентами;

r – равно числу корней характеристического уравнения (18), совпадающему с числом . Таким образом, , если среди корней характеристического уравнения нет числа ; , если существует один корень характеристического уравнения или , совпадающий с числом ; , если существует двукратный корень характеристического уравнения, совпадающий с числом .

Зная структуру частного решения неоднородного уравнения, неизвестными которого являются только коэффициенты многочленов, подставим его вместе с производными в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов.

Таким образом, для правой части специального вида общее решение дифференциального уравнения может быть легко найдено с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений, не прибегая к операции интегрирования, которая необходима в методе вариации произвольных постоянных.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

Решение . Имеем обыкновенное дифференциальное уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: у(х)= У+ и. или

.

где – общее решение соответствующего однородного уравнения,

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

а) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Для этого составим характеристическое уравнение:

Решая квадратное уравнение, получим корни характеристического уравнения , . Эти корни являются действительными и различными, поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:

.

б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения

.

Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если , , , т.е. , , т.е. . Так как правая часть имеет специальный вид, структура частного решения в общем случае будет иметь вид:

.

Так как и число , то . Так как и , то , т.е. , . Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:

Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем первую и вторую производные от частного решения

Подставим найденные выражения в исходное уравнение:

Разделим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т.е. при , и . Получим систему, из которой найдем коэффициенты и . Таким образом,

или

Решая систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя переменными, получим , . Тогда частное решение

Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой

Таким образом,


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 49 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Система команд.| Передача его получателю на станции назначения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.015 сек.)