Читайте также:
|
по дисциплине «Методы оптимальных решений»
Вариант 7
Выполнила:
студентка группы М-325з
Хасанова Э.И.
Принял:
Ст. преподаватель
Закурдаева Е.А.
 |
Уфа 2014
Содержание
Задание 3
Метод сканирования 4
Метод деления пополам 6
Метод золотого сечения 8
Метод параллельных касательных 10
Задание:
1. Написать в среде Matlab функции, реализующие следующие три метода: сканирования, деления пополам, золотого сечения.
2. Выбрать для выполнения работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре Вашей зачётной книжки.
f (x) = 10xlnx + 
→ min, x 
[0,1, 1].
3. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Провести сравнение методов. Объяснить полученные результаты.
4. Вычислить аналитическое значение координаты минимума выбранной функции с точностью до 4 значащих цифр.
5. Определить, сколько вычислений функции потребуется каждому методу, для того чтобы разность между численным и аналитическим решениями была меньше ε = 10-4.
6. Метод параллельных касательных.
Метод сканирования.
Условие: f (x) = 10xlnx + → min, x [0,1, 1].
Ошибка по х: ε =0,05.
Разобьем весь интервал на 4подынтервала, координаты х будут [0,225;0.35;0.475]. Найти значение критериев.
F1 (0,225) = 10*0,225ln0,225+ 
=-3,329
F2 (0,35) =10*0,35ln0,35+ 
=-3,613
F3 (0,475) =10*0,475ln0,475+ 
=-3,424
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,225;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F2= -3,613
F4(0,6125)= 10*0,6125ln0.6125+ 
=-2,818
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,35;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F4=-2,818
F5(0,675)=10*0,675ln0.675+ 
=-2.423
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,675;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F5=-2,423
F6(0,8375)=10*0,8375ln0.8375+ 
=-1.134
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,8375;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F6=-1,134
F7(0,9187)=10*0,9187ln0.9187+ 
=-0.358
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.9187;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F7=-0.358
F8(0,95)=10*0,95ln0.95+ 
=-0.025
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.95;1], т.к. внутри него находится минимальное значение F8=-0,025
F9(0,975)=10*0,975ln0.975+ 
=0.23
Всего девять раз вычислялся критерий оптимальности.
Ответ: F*=0,23
Метод деления пополам.
Условие: f (x) = 10xlnx + → min, x [0,1, 1].
Ошибка по х: ε =0,05.
R(x- ε /2) > (x+ ε /2)
0,55-0,05/2=0,525
0,55+0,05/2=0,575
F1(0,55)=10*0.525ln0.525+ 
=-2.8826
F2(0.55)= 10*0.575ln0.575+ 
=-2.8521
Справа
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.55;1].
0,775-0,05/2=0.75
0,775+0,05/2=0,8
F3(0,75)=10*0.75ln0.75+ 
=-1.8778
F4(0,8)=10*0.8ln0.8+ 
=-1.4648
Справа
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,775;1].
0,887-0,05/2=0.862
0.887+0.05/2=0.912
F5(0.862)=10*0.862ln0.862+ 
=-0.91
F6(0.912)=10*0.912ln0.912+ 
=-0.4299
Справа
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.887;1].
0.943-0.05/2=0.918
0.943+0.05/2=0.968
F7(0.918)=10*0.918ln0.918+ 
=-0.3649
F8(0.968)=10*0.968ln0.968+ 
=0.1554
Справа
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.887;1].
0.9435-0.05/2=0.9185
0.9435+0.05/2=0.9685
F9(0.9185)=10*0.9185ln0.9185+ 
=-0.3607
F10(0.9685)=10*0.9685ln0.9685+ 
=0.16
Справа
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0,9435;1].
0,9717-0.05/2=0,9467
0,9717+0.05/2=0,9967
F11(0,9467)=10*0,9467ln0.9467+ 
=-0.067
F12(0,9967)=10*0.9967ln0.9967+ 
=0.46
Всего двенадцать раз (6*2=12) вычислялся критерий оптимальности.
Ответ: F*=0.46
Метод золотого сечения.
Условие: f (x) = 10xlnx + → min, x [0,1, 1].
Ошибка по х: ε =0,05.
Найдем 2 симметричные точки золотого сечения для отрезка[-1;1.5]
Х1=а+0,382*(в-а)=0.1+0,382*0.9=0.4438
Х2=в-0,382*(в-а)=1-0,382*0.9=0.6562
F1(0.4438)= 10*0.4438ln0.4438+ 
=-3.513
F2(0,6562)= 10*0.6562*ln0.6562+ 
=-2.549
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.6562;1].
X3=0,6562+0,382*0,3438=0,7875
X4=1-0,382*0,3438=0,8687
F3(0,7875)=10*0,7875ln0.7875+ 
=-1.5705
F4(0.8687)=10*0.8687ln0.8687+ 
=-0.8523
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.8687;1].
X5=0.8687+0,382*0.1313=0.9188
X6=1-0,382*0.1313=0.9498
F5(0.9188)=10*0.9188ln0.9188+ 
=-0.3573
F6(0.9498)=10*0.9498ln0.9498+ 
=-0.0391
Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [0.9498;1].
X7=0.9498+0,382*0,0502=0.9689
X8=1-0,382*0.0502=0.9808
F7(0.9689)=10*0.9689ln0.9689+ 
=0.1648
F8(0.9808)=10*0.9808ln0.9808+ 
=0.2907
Всего восемь раз (4*2=8) вычислялся критерий оптимальности.
2. МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ
Метод параллельных касательных рассмотрим на примере двухмерной задачи R (
, 
).Он заключается в следующем.Из двух произвольных точек 
, 
, не лежащих на одной прямой заданного направления (например, вдоль одной переменной), проводят два спуска по направлению и находят точки оптимумов 
и 
. Далее оптимум ищут на прямой, соединяющей эти точки. Во всех поисках по направлению могут применяться любые одномерные методы поиска. После отыскания оптимума 
вдоль направления - опять ищут оптимум из точки в первоначально заданном направлении и находят точку 
,затем опять в направлении - ищут одномерным методом оптимум и т. д.
В качестве исходного направления задается обычно направление одной из координатных осей (по 
или по и т. д.), хотя может задаваться любое направление.
Для квадратичных функций поиск заканчивается всего за три одномерных поиска, для неквадратичных – это интеграционная процедура, сходящаяся к решению тем быстрее, чем ближе R(, ) к квадратичной функции.
Для трехмерной задачи (в случае квадратичного критерия оптимальности) необходимо сначала найти за три одномерных поиска оптимум в одной плоскости (например, 
= 
), затем другой, параллельной ей ( = 
), далее потребуется один спуск вдоль направления точек оптимума в этих плоскостях.
В случае n-мерной квадратичной задачи общее число одномерных писков будет определяться так:
=2 
+1.
Это число быстро растет с ростом размерности задачи. В целом метод успешно может применяться для задач невысокой размерности для функций, близких к вадратичным.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав