Читайте также:
|
|
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ГАМИЛЬТОНА – ПОНТРЯГИНА.. 3
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СУ 6
3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ СУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 9
4. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ.. 13
5. ПОСТРОЕНИЕ САМОНАСТАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМА МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА 20
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 25
1. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ГАМИЛЬТОНА – ПОНТРЯГИНА
Задание: определить оптимальное управление как функцию времени, используя принцип максимума.
Дано: уравнение движения объекта:
(1.1)
(1.1.2)
Управление не ограничено.
Оптимизирующий функционал имеет вид:
(1.1.3)
Начальные и конечные условия:
(1.1.4)
Изопараметрическое ограничение:
(1.1.5)
Решение:
Переведем уравнение (1.1) из матричной формы в систему уравнений:
(1.2)
Введем вспомогательные функции и составим Гамильтониан вида:
(1.3)
где: (1.4)
(1.5)
Учитывая (1.2), (1.3), получим Гамильтониан вида:
(1.6)
С учетом (1.5) определим вспомогательные функции 𝜓:
или после интегрирования (1.7)
Т.к. управление не ограничено, то необходимо найти экстремум функции Гамильтона – Понтрягина. Для этого определим частную производную от него по управлению, получим:
Или с учетом (1.7): (1.8) Перепишем систему (1.3), подставив в неё значение (1.8) и проинтегрируем:
(1.9)
Далее получим:
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Подставив условия (1.1.4), получим:
(1.13)
Решаем данную систему:
(1.14)
Оптимальное управление (1.8), с учетом (1.14), будет равно:
(1.15)
(1.16)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ ДЛЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СУ
Задание: определить оптимальное управление непрерывной системы, используя уравнение Риккати.
Дано: Уравнение движения объекта:
(2.1)
где:
Оптимизирующий функционал имеет вид:
(2.2)
Решение:
Из теории известно, что для оптимизирующего функционала вида:
(2.3)
можно найти оптимальное управление, которое представляет собой линейную функцию от фазовых координат:
(2.4)
где:
(2.5)
Р(t) – решение уравнения Риккати, которое в алгебраической форме имеет вид:
(2.6)
где и найдем из (2.1.1), а и найдем из (2.2):
(2.7.1)
(2.7.2)
Будем искать решение уравнения Риккати в виде: (2.8)
Подставим (2.1.1), (2.7.1), (2.7.2) в уравнение (2.6), получим:
(2.9)
Подставим (2.7.1), (2.7.2) в (2.6), получим:
Решая уравнение (2.10), получим систему:
Решая систему (2.11) с помощью ППП MathCAD, получаем четыре возможные матрицы-решения уравнения Риккати:
(2.12.1)
(2.12.2)
(2.12.3)
(2.12.4)
Проверим каждую из матриц (2.12.1-2.12.4) на не отрицательность. Найдем собственные значения λ каждой из матриц Р1-P4:
(2.13)
где Е – единичная матрица.
Произведем подобное вычисление с помощью встроенной функции ППП MathCAD:
(2.141)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
Из полученных пар λ1 и λ2 в (2.141)- (2.144) видно, что лишь матрица Р3 удовлетворяет условию не отрицательности. Следовательно, она и является искомой матрицей-решением уравнения Риккати (2.6). Тогда (2.5) примет вид:
(2.15)
Следовательно искомое оптимальное управление (2.4) будет равно:
(2.16)
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 132 | Нарушение авторских прав