Читайте также:
|
|
III. Производная.
Определение производной.
Пусть функция определена и непрерывна на интервале (а;в). Выберем два любых значения из этого интервала: (а;в) и (а;в).
Определение 1. Разность называется приращением аргумента функции в точке и обозначается : =
Определение 2. Приращением функции в точке называется разность между значением функции в точке и значением функции в точке :
.
Приращение функции в точке обозначают: :
.
Определение 3. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , стремящемся к нулю
.
Если этот предел существует, то говорят, что функция имеет производную в точке , или что функция дифференцируема в точке .
Производную функции в точке обозначают:
; , таким образом,
.
Говорят, что функция дифференцируема в интервале (а;в), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.
Механический смысл производной
Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью и функция описывает закон движения точки, как зависимость пути от времени . Тогда разность - это путь, пройденный за промежуток времени , а отношение - средняя скорость за время .
Если уменьшать промежуток времени так, что стремится к нулю , то определяет мгновенную скорость точки в момент времени как производную пути по времени.
Геометрический смысл
Пусть функция имеет график, который изображен на рисунке 1. Точки М и N принадлежат графику функции.
Прямая MN – секущая, она пересекает график в двух точках.
Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой .
Пусть точка М на кривой соответствует значению аргумента , а точка N – значению аргумента (см.рис.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке нужно, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси ОХ.
Из треугольника следует, что
Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной получаем: .
Следовательно, производная равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ или угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М (, ). При этом угол наклона касательной определяется из формулы: .
4. Уравнение касательной
Рис. 2
На рисунке 2 изображен график функции - точка касания прямой к графику. - любая точка на касательной. Из имеем: . Из геометрического смысла производной следует, что . Поэтому имеем: , или , или - это уравнение касательной к графику функции в точке .
Из чертежа видно, что отрезок - часть приращения функции . Эту часть приращения называют дифференциалом функции в точке и обозначают . Отношение . Можно доказать, что . Поэтому имеем: . Производную функции иногда пишут как отношение дифференциалов: .
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 1 | Нарушение авторских прав