Читайте также:
|
|
Доказательство. Область M допустимых процессов расширяется с помощью таких процессов , которые удовлетворяют условию при , но не обязательно удовлетворяют уравнению процесса. Эти процессы составляют множество D, и M является его подмножеством.
Введем определенный на множестве D (следовательно, и на множестве M) функционал с помощью соотношения (4.12). О функционале известно (см. лемма 4.1), что на множестве M его значение совпадает со значением функционала J (соотношение (4.13)).
Обозначим аналогично тому, как было сделано в формуле (4.18)
Так как M есть подмножество , то:
,
откуда
. (4.32)
С другой стороны, из условия 1 настоящей теоремы для первого слагаемого в правой части соотношения (4.12) получаем
Следовательно, взятое с обратным знаком, это слагаемое стремиться к
Из условия 2 сразу получаем, что второе слагаемое в правой части функционала (4.12) также стремиться к своей нижней грани.
Последнее слагаемое в правой части формулы (4.12) – постоянная величина, не влияющая на предельный предельный переход, поэтому можно сделать вывод, что при
(4.33)
Сравнивая последнее соотношение (4.32) с (4.33) и пользуясь определением точной нижней грани (inf) функционала, можно написать , т.е. последовательность является минимизирующей для функционала J на множестве M, что и утверждается в теореме.
Эта теорема остается справедливой, если несколько видоизменить ее условия.
Как отмечалось выше, иногда бывает удобно в условиях теоремы предполагать, что верхняя грань функции R (t, x, u) рассматривается при данном значении t только на множестве , являющимся подмножеством множества . При таком изменении формулировка теоремы остается справедливой.
Условие 1 теоремы 4.4 может быть ослаблено, если сформулировать ее в виде
Если же при существует max R(t, x, u) при , то утверждение теоремы остается верным при замене условия 1 также более слабым условием
. (4.34)
Использованное в формулировке теоремы 4.4 условие 1 является достаточным для выполнения соотношения (4.34), так как равномерная сходимость подынтегральных функций обеспечивает и сходимость интеграла, однако диапазон применимости этого условия шире, чем условие 1 теоремы 4.4. Например, условие (4.34) можно применять для таких процессов, где управление u(t) или состояние x(t) не являются ограниченными на отрезке . В этом случае даже если верхняя грань функции R и не существует при , то для применения соотношения (4.34) требуется лишь существование и конечность интегралов в этом соотношении.
Перейдем теперь к обобщенной теореме о достаточных условиях оптимальности для многошаговых процессов в дискретных системах.
Постановка задачи оптимального управления определяется функционалом (4.24), который требуется минимизировать на множестве M допустимых процессов, задаваемом ограничениям (4.21) – (4.23).
Так как доказательство теоремы для дискретных процессов может быть проведено аналогично доказательству теоремы для непрерывного процесса, ограничимся ее формулировкой.
Теорема 4.5 (обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности для многошаговых процессов). Пусть имеется последовательность при Предположим, существует функция , которая при удовлетворяет условиям:
1. для
2.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 30 | Нарушение авторских прав