Читайте также:
|
|
Теоретические предпосылки
Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).Запишем систему в векторной форме
, | (6.1) |
где: -искомая вектор-функция; t -независимая переменная; ; , m -порядок системы; координаты; t³0; .
Запишем систему (6.1) в развернутом виде
, | (6.2) |
где: i =1,...,m; .
В случае i =1 -это будет ОДУ 1-го порядка, а при i =2 - система из двух уравнений первого порядка.
В случае i =1 решение задачи Коши предполагает нахождение интегральной кривой, проходящей через заданную точку и удовлетворяющую заданному начальному условию.
Задача состоит в том, чтобы найти искомую вектор-функцию u, удовлетворяющую (6.1) и заданным начальным условиям.
Метод Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта)
Уравнение (6.4) заменяется разностным уравнением
, n =0,1,2,…, . |
В окончательной форме значения можно определить по явной формуле
. | (6.5) |
Вследствие систематического накопления ошибок метод используется редко или используется только для оценки вида интегральной кривой.
Определение 1. Метод сходится к точному решению в некоторой точке t, если при t® 0, .
Метод сходится на интервале (0, t ], если он сходится в любой точке этого интервала.
Определение 2. Метод имеет р -й порядок точности, если существует такое число р >0, для которого при t®0, где: t - шаг интегрирования; O -малая величина порядка .
Так как , то метод Эйлера имеет первый порядок точности. Порядок точности метода совпадает с порядком точности разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения.
Методы Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности
Отличительная особенность методов Рунге-Кутта от метода (6.5) заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не только в точках сетки, но и также в середине отрезков(промежуточных точках).
, | (6.8) |
где .
Можно показать, что метод (6.8) имеет второй порядок точности, т.е. .
Метод (6.8) называется методом прогноза и коррекции в том смысле, что на первом этапе решение как бы предсказывается с точностью , а на втором этапе - с точностью до (второй порядок точности).
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав