Читайте также:
|
|
Множества, операции над ними. Бинарные отношения.
Задача 1. Даны множества:
А = {–1; 0; 1},
В = [–2; 0) – полуинтервал на числовой оси,
С = [–0.5; 2] - отрезок на числовой оси.
Найти:
Изобразить на плоскости: А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найти , считая универсальным множеством множество всех вещественных чисел.
Решение:
= {[–2; 0]; 1}
= {–1; [–0.5; 2]}
= [–2; 2]
= [–2; 2]
= {–1}
= {0; 1}
= [–0.5; 0)
= Æ – пустое множество
А \ В = {0; 1}
В \ А = {[–2; –1); (–1; 0)}
А \ С = {–1}
С \ А = {[–0.5; 0); (0; 1); (1; 2]}
B \ C = [–2; –0.5)
C \ B = [0; 2]
(A \ B) \ C = Æ
A \ (B \ C) = {0; 1}
Задача 2. Доказать тождество, используя диаграммы Эйлера-Венна.
Решение: Изобразим диаграмму для левой части тождества по шагам:
Теперь диаграмму правой части по шагам:
Ввиду того, что заштрихованные области, полученные на последнем шаге для левой и правой части тождества, одинаковы, можно заключить, что исходное выражение верно.
Задача 3. Даны множества А ={ a, b, c } и B ={1,2,3,4} и два бинарных отношения: P 1={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)} и P2={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)}
Изобразить Р 1, Р 2 графически. Найти: Р 1-1, Р 2-1, . Определить, является ли отношение Р 2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.
Решение: рассмотрим два способа графического представления бинарных отношений:
По определению обратное отношение . Таким образом, Р 1-1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, c); (4, c)} и P 2-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}.
По определению композиции бинарных отношений
Таким образом, ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}.
Тогда -1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, b); (4, b); (1, c); (3, c); (4, c)}.
={(1, a); (1, c); (3, a); (3, c); (2, b); (1, b); (4, b); (4, c)}
Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции.
Отношение Р 2 рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности .
a) Отношение Р 2 не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3) Î Р 2, но пара (2,3) Ï Р 2.
b) Отношение Р 2 не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y) Î Р 2 должно быть и (y, x) Î Р 2. Однако это не так. Например, пара (1,3)Î Р 2, но пара (3,1) Ï Р 2.
c) Отношение Р 2 антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y) Î Р 2 такой, что (y, x) Î Р 2 обязательно следует, что x = y.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 75 | Нарушение авторских прав