Временной анализ. Пусть ЛДС описывается уравнениями состояния и выхода в нормированном времени

Пусть ЛДС описывается уравнениями состояния и выхода в нормированном времени

(9.1)
(9.2)

Временной анализ основывается на построении рекуррентной процедуры решения разностного уравнения (9.1) для заданной последовательности входных сигналов х(п) при известном начальном состоянии q(0). Эта процедура описывается соотношениями:

Полученная последовательность легко обобщается на произвольный момент времени n:

(9.3)

где А° = I — единичная матрица,

Уравнение (9.3) позволяет вычислить компоненты вектора состояния q(п) в любой момент времени n, зная начальное состояние g (0) и входной сигнал х(п). С алгебраической точки зрения первое слагаемое в (9.3) есть решение однородного разностного уравнения (9.1) при В = 0. Вторая сумма в (9.3) есть частное решение (9.1), представляющее собой линейную дискретную свертку. В случае отсутствия входного сигнала (5=0 или х(п) = 0) матрица А полностью описывает внутреннюю динамику линейной системы. Поэтому А называют переходной матрицей состояния. По аналогии назовем В матрицей входа, а С — матрицей выхода.

Подставим выражение (9.3) в уравнение выхода (9.2):

(9.4)

Уравнение (9.4) служит основой для получения импульсной и переходной характеристик ЛДС. На основании определений, приведенных в п. 4.1, можно утверждать, что импульсной характеристике соответствует выходной сигнал при единичном цифровом импульсе и₀(п) на входе и нулевых начальных условиях. Аналогично, переходной характеристике соответствует выходной сигнал, получаемый под воздействием единичного цифрового скачка и₁(п) при нулевых начальных условиях. Аналитическое выражение для импульсной характеристики получается из уравнения (9.4) при условии

(9.5)

При n =0 h (0)=D и ₀(0)= b ₀, а при n > 0 сумма и правой части (9.5) вырождается в единственное слагаемое при

динственноеражение для импульс- k = 0:

Объединяя (9.5) и (9.6), окончательно получаем

Пример 9.1. Вычислить три первых отсчета импульсной характеристики рекурсивной цепи второго порядка, имеющей прямую каноническую структуру 1.

Гашение. На основании выражений (8.8), (8.9) и (8.13) имеем:

В соответствии с (9.7) получим

Полученный результат совпадает с решением разностного уравнения (7.3) При x (n) = и ₀(n).

Переходная характеристика получается из выражения (9.4) при условии

(9.8)

Несложный анализ выражений (9.7) и (9.8) показывает, что для получения временных характеристик ЛДС необходимо вычисление больших степеней квадратной переходной матрицы состояния А. Для этого существует эффективная процедура, основанная на теореме Гамильтона – Кэли, которая в дальнейшем будет рассмотрена.

Дата добавления: 2015-12-08