Разновидности передаточных функций

Разновидности передаточных функций обусловлены возможностью их различного математического представления, а также типом ЛДС - рекурсивная (БИХ) или нерекурсивная (КИХ).

Приведем разновидности математического представления передаточной функции общего вида (5.6).

- Представление ПФ в виде произведения с разложением числителя и знаменателя на простейшие множители первой степени

(5.13)

где β i a_k — i -й нуль и k-й полюс ПФ (5.6) соответственно; в общем случае нули и полюсы — комплексно-сопряженные числа, (N - 1) и (М - 1) — количество нулей и полюсов соответственно.

При N-M формула (5.13) принимает вид

(5.14)

В представлении ПФ (5.13) в общем случае имеем комплексные коэффициенты при z^-1

- Представление ПФ в виде произведения с разложением числителя и знаменателя на простейшие множители второй степени

(5.15)

где b_0j, b_1j, b_2j, a _1k, a_2k — вещественные коэффициенты,
(N - 1), (М - 1) — четные числа.

Замечание

Здесь и далее, если (N - 1) или (М- 1) — нечетные числа, то верхний индекс произведения равен N/2 или MI2 соответственно, при этом коэффициенты т. е. один нуль или полюс будет вещественным.

Разложение многочлена на простейшие множители второй степени с вещественными коэффициентами

получается в результате умножения двух множителей первой степени в (5.14) с комплексно-сопряженными корнями (нулями или полюсами). Покажем, что это действительно так на примере двух множителей первой степени в знаменателе (5.14)

где коэффициенты а_k, a._k+l — комплексно-сопряженные полюсы

Выполнив операцию умножения, получим множитель второй степени

с ве щественными коэффициентами

При N = М формула (5.15) принимает вид

(5.16)

где К — количество звеньев 2-го порядка, К = (М - 1)/2.
- Представление ПФ в виде суммы простых дробей (N < М) первой степени

(5.17)

где α_k— k-йполюс ПФ (5.6); в общем случае полюсы комплексно-сопряженные числа,

A_k - коэффициент разложения при k-м полюсе; константа A_k - всегда число того же типа, что и полюс a_k, поэтому в общем случае константы, также как и полюсы, — комплексно-сопряженные числа,

(М - 1) — количество полюсов A_k и констант А_k
- Представление ПФ в виде суммы простых дробей (N ≤ М) второй степени

(5.18)

где b_0k, b_1k, α_1k,α_2k — вещественные коэффициенты,
К = (М -1)/2, К — количество звеньев 2-го порядка.

ПФ (5.18) получается в результате сложения двух простых дробей ПФ (5.17) с комплексно-сопряженными полюсами a_k (и соответственно комплексно-сопряженными константами A_k) аналогично рассмотренному
выше произведению двух множителей первой степени. Рассмотрим разновидности передаточных функций, обусловленные типом ЛДС.

Рекурсивные ЛДС описываются любой из вышеприведенных разновидностей ПФ. Дополнительно для рекурсивных ЛДС выделяют ПФ полюсного вида; это ПФ общего вида (5.6), числитель которой является многочленом нулевой степени

(5.19)

ПФ полюсного вида (5.19) имеет (М -1) одинаковых нулей, значения которых равны нулю, и (М -1) полюсов; ПФ (5.19) может иметь любое из рассмотренных выше математических представлений, а именно:
- в виде произведения с разложением на простейшие множители первой степени

(5.20)

- в виде произведения с разложением на простейшие множители второй степени

(5.21)

-и в виде суммы простых дробей первой степени (5.17) и второй степени (5.18).

Примеры 5.2 передаточных функций полюсного вида:

- базовое звена 1-го порядка [см. ПФ общего вида (5.9)]

(5.22)

- базовое звена 2-го порядка [см. ПФ общего вида (5.11)]

(5.23)

Нерекурсивные ЛДС описываются передаточной функцией вида

(5.24)

получаемой из ПФ общего вида (5.6) при a_k ≡ 0.

Передаточная функция (5.24) может иметь математическое представление в виде:

- произведения с разложением на простейшие множители первой степени

(5.25)

- и второйстепени

(5.26)

Дата добавления: 2015-12-08