Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. Пусть f(x) определена на [a, b], a<b

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.

Пусть f(x) определена на [a, b], a<b. f(x) непрерывна на [a, b].

1. Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] сверху М x [a, b]: f(x) М.

Предположим, что это не так, то есть М [a, b]: f(x´)>М.

Тогда для М=1 x1´ [a, b]: f(x1´)>1

для М=2 x2´ [a, b]: f(x2´)>2

……………………………….

для М=n xn´ [a, b]: f(xn´)>n

……………………………….

Мы построили последовательность {xn´} такую, что n: xn´ [a, b], и {f(xn´)} такова, что f(xn´)=+ .

Проверим, что {f(xn´)} стремится к + .

f(xn´)=+ E>0 N n>N: f(xn´)>E.

Возьмём произвольное E>0 и зафиксируем его. Тогда по аксиоме Архимеда N – натуральное число такое, что N>E.

Тогда n>N: f(xn´)>n>N>E n>N: f(xn´)>E.

А так как n: xn´ [a, b], то {xn´} ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса у неё существует сходящаяся подпоследовательность {xnk´}.

Пусть xnk´=с, а так как k: a xnk´ b, то по теореме о предельном переходе в неравенствах для одной последовательности получаем a с b с [a, b].

Но по условию теоремы f(x) непрерывна на [a, b], следовательно, и в точке с f(xn´)= f(с) и мы пришли к противоречию, так как любая подпоследовательность последовательности, стремящейся к + , стремится к +

2. Пусть f(x) непрерывна на [a, b].

Докажем, что f(x) ограничена на [a, b] снизу m x [a, b]: m f(x).

Рассмотрим функцию g(x)= –f(x). По арифметическим свойствам непрерывной функции, g(x) непрерывна на [a, b] и по доказанному в п.1, g(x) ограничена сверху на [a, b], то есть М x [a, b]: g(x) M, ибо g(x)= –f(x) M f(x) –M=m x [a, b]: f(x) m.

Следовательно, f(x) ограничена на [a, b] и сверху и снизу f(x) ограничена на [a, b].

Замечание 1.

Теорема 2 не распространяется на функции, непрерывные на промежутках другого вида.

 

Примеры.

1. f(x)= , X=(0, 1). f(x) непрерывна на (0, 1), но не ограничена на интервале (0, 1) сверху.

2. f(x)=x2, X=(– , + ). f(x) непрерывна на (– , + ), но не ограничена на (– , + ) сверху.

 

Замечание 2.

Если f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна на X, то теорема 2 применяется к сужению непрерывной функции f(x) на любом отрезке [a, b] X, и эта функция сужения на [a, b] ограничена на [a, b].

 

 

Теорема 3. (Вторая теорема Вейерштрасса о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.)

Любая функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих точных, верхней и нижней, граней.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 126 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. | Доказательство. | Утверждение 1. | Классификация точек разрыва функции. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)