Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство. 1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1 x2 xn и В n: xn В.

Читайте также:
  1. Доказательство.
  2. Доказательство.
  3. Доказательство.
  4. Доказательство.
  5. Доказательство.
  6. Доказательство.
  7. Доказательство.

1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1 x2 xn … и В n: xn В.

Так как множество {xn} всех элементов последовательности ограниченно сверху, то sup {xn}=а.

Докажем, что xn=а.

sup {xn}=a 1) n: xn а

2) 0 N: xn>а- , а в силу возрастания {xn} n>N: а- <xN xn а<а+ а- <xn<а+ │xn-а│< xn=а.

2) 1)

 

2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу.

Тогда {-xn} возрастает и ограничена сверху. В самом деле x1 x2 xn - x1 - x2 - xn

{xn} ограничена снизу А n: А xn - xn {-xn} ограничена сверху и возрастает. Тогда по доказанному в п.1 (-xn)=-а= sup {-xn}. А тогда а= xn= inf {xn}.

 

Следствие.

Любая возрастающая (убывающая) последовательность либо сходится к своей точной верхней грани (соответственно, к своей точной нижней грани), либо стремится к + (соответственно, к - )

 

§8. Теорема о вложенных отрезках.

Теорема.

Пусть последовательность отрезков (1) { [an, bn] } удовлетворяет следующим условиям:

1). n: [an+1, bn+1] [an, bn]

2). дл.[an, bn]= (bn- an)=0

Тогда последовательность концов отрезков {an} и {bn} сходится и an= bn=с.

При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1).

Доказательство.

Рассмотрим последовательность {an} левых концов отрезков.

Из условия 1) следует, что n, n=1, 2, …: аn+1 an {an} возрастает. А так как n: an b1 (an bn b1), то {an} ограничена сверху. {an} возрастает и ограничена сверху, а тогда по теореме §7 она сходится с: с= an.

Рассмотрим теперь последовательность {bn} правых концов отрезков [an, bn], n=1, 2, …

Так как для любого n: bn=an+(bn-an), то по теореме о пределе суммы двух сходящихся последовательностей {an} и {bn-an} bn=с+0=с.

Согласно следствию §7 an=с= sup {an}, а так как {bn} убывает и ограничена снизу, то bn=с= inf {bn}.

По определению sup {an} и inf {bn}:

n: an с bn n: с [an, bn].

Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1).

Предположим, что с′, с′ с и такое, что n: с′ [an, bn].

Значит, n: -(bn- an) с- с′ bn- an, а так как с′ с, то |с- с′|>0 0<|с- с′| (bn- an).

Но это противоречит тому, что (bn- an)=0.

Замечание 1.

О последовательности (1) { [an, bn] } говорят, что { [an, bn] } – последовательность стягивающихся отрезков.

Замечание 2.

Если в условии теоремы отрезки заменить на промежутки другого типа, то сходимость последовательностей концов промежутков будет иметь место.

Второе утверждение теоремы может оказаться ложным.

Пример.

{(0, 1); (0, ); …; (0, ); …} имеет пустое пересечение.

 

 

§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема.

Любая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 136 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Простейшие операции над множествами. | Доказательство. | Доказательство. | Доказательство. | Закон двойственности. | Доказательство. | Доказательство. | Докажем теорему 2. | Доказательство. | Доказательство. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Доказательство.| Доказательство.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)