Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интегрирование по частям

Читайте также:
  1. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
  2. VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ
  3. Интегрирование заменой переменной.
  4. Интегрирование иррациональных функций
  5. Интегрирование квадратичных иррациональностей
  6. Интегрирование некоторых иррациональных

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Первообразная, основное свойство первообразных

 

Определение. Первообразной функции называется функция , производная которой равна , т.е. .

Поскольку , где постоянная, первообразных функции бесчисленное множество.

Теорема. Любые две первообразные функции могут отличаться только на постоянную. Другими словами, если и , то

Доказательство: Обозначим Согласно предположению Следовательно, имеем:

.

 

Определение. Множество всех первообразных одной функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается , причем называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением.

Очевидно, что если , то , где произвольная постоянная интегрирования, то есть постоянная может принимать любые значения.

Приведем таблицу неопределенных интегралов с проверкой того, что действительно производная от правой части совпадает с подынтегральной функцией.

Таблица неопределенных интегралов

1. .
2.
3. .
4. .
5. . .
6.
7.
8. .
9.
10. .
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. .
18.

Приемы интегрирования

 

Тождественные преобразования подынтегрального выражения и использование свойств интегралов

(непосредственное интегрирование).

 

Из свойства производной

следует аналогичное свойство для неопределенных интегралов

.

 

Пример 1.

Пример 2.

 

Замена переменной в интеграле

 

Докажем, что если , то .

Доказательство: Имеем: . Тогда

.

Формула интегрирования заменой переменной:

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования назад к старой переменной .

При подходящей замене переменной мы сводим заданный интеграл к табличному.

 

Пример 1.

Пример 2.

.

 

Пример 3.

Интегрирование по частям

 

Пусть , – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда

(или ).

Доказательство: Справедливы соотношения:

и

Сравнивая правые части, получим приведенную выше формулу.

Можно указать приоритеты выбора функции .

1) В качестве выбирается одна из функций , .

2) При отсутствии этих функций в подынтегральном выражении в качестве может быть выбрана находящаяся в числителе степенная функция с целым положительным показателем степени.

Других приоритетов при выборе этой функции нет, выбор в этом случае осуществляется перебором возможных вариантов.

Пример 1.

Пример 2.


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 102 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства определенного интеграла.| Неопределенный интеграл

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)