Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Независимость КИ-2 от пути интегрирования

Читайте также:
  1. Изучение способов приближенного интегрирования.
  2. Метод интегрирования по частям
  3. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
  4. Метод интегрирования по частям.
  5. Метод интегрирования по частям. Примеры.
  6. Метод непосредственного интегрирования
  7. Метод непосредственного интегрирования функций

Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2) не зависит от выбора пути интегрирования;

3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

Функция может быть найдена, например, по формуле

(5.7)

где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

.

Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки до точки .

Ñ Кривая l представлена на рис.14.24.

Рис.14.24
По формуле (5.6) имеем = = . #

Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).

Рис.14.25
Ñ Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде .Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, , , . Тогда из уравнения сферы имеем = = = = . Отсюда, помня, что , имеем . Итак, ; , , . По формуле (5.5) =

 

= .#

Пример 22. Найти первообразную функции , если .

Ñ По формуле (5.7) при получим

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , где l – отрезок прямой от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами , указанными в порядке обхода l.

99. вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .

102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии .

104. , где l – линия пересечения сферы и цилиндра (), обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:

105. . 106. . 107. .

108. (контурное интегрирование не пересекает поверхность .

Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:

109. .

110. .

111. .

112. .

113. . 114.

С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:

115. , где l – окружность .

116. , где l – эллипс .

117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.

118. В каждой точке эллипса приложена сила , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.

119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности от точки до точки . Указание. .


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 104 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Области на плоскости | Задачи для самостоятельного решения | Переход в двойном интеграле к полярным координатам | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2) | Векторных линий поля | Способы вычисления потока | Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля | Ротор (вихрь) векторного поля |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Задачи для самостоятельного решения| Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)