Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Мера Лебега ограниченных множеств на числовой прямой.

Читайте также:
  1. III. Поставьте существительные во множественном числе. Помните об артикле.
  2. Влияние Множественных УзлоFF
  3. Внимание. Не увлекайтесь множеством богатых событиями биографий и крупных высококачественных фото. Файл БД может стать большим и не поместиться на дискету.
  4. Восприятие и отображение множеств
  5. Декартово произведение множеств позволяет перейти к графическому представлению упорядоченных множеств.
  6. Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений.
  7. Измерение тесноты связи множественной линейной регрессии

Мера Лебега числового множества является обобщением понятия длины промежутка числовой оси. При определении меры Лебега будем руководствоваться тем принципом, что введенная мера множества, в частном случае, когда множество является интервалом, должна совпадать с такой характеристикой интервала как длина.

Процедуру определения меры Лебега начнем с определения меры множества, имеющего наиболее простую структуру - открытого множества.

Определение 1.2.1. Мерой интервала называется число , т.е. .

Определение 1.2.2. Мерой непустого ограниченного открытого множества называется число, равно сумме длин всех составляющих интервалов множества , т.е.

Согласно теореме 1.1.2, любое замкнутое множество имеет представление , где , а - открытое множество.

Определение 1.2.3. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества называется число

.

Перейдем к построению меры Лебега произвольного ограниченного множества на прямой. С этой целью определим понятия внешней и внутренней меры множества.

Определение 1.2.4. Внешней мерой ограниченного множества называется точная нижняя грань мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество , т.е.

.

Отметим, что в силу ограниченности множества , внешняя мера множества всегда существует и принимает конечное значение .

Определение 1.2.5. Внутренней мерой ограниченного множества называется точная верхняя грань мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся во множестве , т. е

.

Справедливы

Теорема 1.2.1. Если и - произвольные открытое и замкнутое множества соответственно, то

и .

Для всякого ограниченного множества справедливо неравенство .

Теорема 1.2.2. Если - ограниченные множества и , то и .

Определение 1.2.6. Если для ограниченного множества справедливо равенство , то говорят, что множество измеримо по Лебегу, а общее значение и называется мерой Лебега множества .

Из определения 1.2.6 и теоремы 1.2.1 следует, что

1) всякое ограниченное открытое множество измеримо и его мера совпадает с мерой, предложенной в определении 1.2.2;

2) всякое ограниченное замкнутое множество измеримо по Лебегу и его мера совпадает с мерой введенной в определении 1.2.3.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 165 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Вспомогательные определения и утверждения. | Упражнения к главе 1. | Измеримые функции. | Интеграл Лебега от ограниченной функции. | Теорема 3.2.2. (аддитивность относительно области интегрирования). | Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. | Пространство функций суммируемых с квадратом. | Пространство функций, суммируемых со степенью p. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.| Свойства измеримых по Лебегу множеств.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)