Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Проблемы с Параметрическим Представлением

Читайте также:
  1. I. Философско-нравственные проблемы
  2. IV. Актуальные проблемы российской экономики
  3. Актуальные проблемы российской экономики
  4. Актуальные проблемы российской экономики
  5. Актуальные проблемы российской экономики
  6. Актуальные проблемы российской экономики
  7. актуальные проблемы современной философии

Ck непрерывность кажется удобным инструментом для проверки на гладкость соединения кривых. Но и тут есть проблема. Пусть даны следующие отрезки кривых:

f (u) = A + u (B - A)
g (v) = B + v (C - B),

где A, B и C - три коллинеарные (лежащие на одной прямой) точки, как показано на рисунке.

Когда u (соотв., v) изменяется от 0 до 1, f (u) (соотв., g (v)) пробегает от A до B (соотв., от B до C). Отрезки f (u) и g (v), очевидно, C 0 непрерывны в точке соединения B. А C 1 непрерывны ли они?

f '(u) = B - A
g '(v) = C - B

Таким образом, f '(u) = B - A в общем случае не равно g '(v) = C - B и, следовательно, два этих отрезка не C 1 непрерывны в точке соединения B!

Странно? Это все из-за параметризации. Если заменить направляющие векторы B - A и C - B на единичные векторы и изменить интервалы параметров u и v, проблема пропадет. Таким образом, уравнения нужно изменить на следующие:

F (u) = A + u (B - A)/ | B - A |
G (v) = B + v (C - B)/ | C - B |,

где u в пределах от 0 до | B - A |, а v в пределах от 0 до | C - B |. Теперь, так как мы имеем F '(u) = G '(v) = единичному вектору в направлении от A до C, отрезки C 1 непрерывны. То есть, параметризация отрезков кривых - хорошая вещь 8).

Вот еще один пример, здесь PI равно 3.1415926, u и v в границах [0,1].

f (u) = (-cos(u 2 PI/2), sin(u 2 PI/2), 0)
g (v) = (sin(v 2 PI/2), cos(v 2 PI/2), 0)

Когда u изменяется от 0 до 1, f (u) проходит левую часть полукруга. Аналогично с правой частью. Они соединяются в точке, показаной красным, (0,1,0) = f (1) = g (0). Имеем следующее:

f '(u) = (PI u sin(u 2 PI/2), PI u cos(u 2 PI/2), 0)
f ''(u) = (PI2 u 2 cos(u 2 PI/2), -PI2 u 2 sin(u 2 PI/2), 0)
f '(u) × f ''(u) = (0, 0, -PI3 u 3)
| f '(u) | = PI u
| f '(u) × f ''(u) | = PI3 u 3
k (u) = 1

g '(v) = (PI v cos(v 2 PI/2), -PI v sin(v 2 PI/2), 0)
g ''(v) = (-PI2 v 2 cos(v 2 PI/2), -PI2 v 2 cos(v 2 PI/2), 0)
g '(v) × g ''(v) = (0, 0, -PI3 u 3)
| g '(v) | = PI v
| g '(v) × g ''(v) | = PI3 v 3
k (v) = 1

Заметьте, что и g '(0), и g ''(0) - вектора нулевой длины, и поэтому неопределены. В итоге мы вообще не можем ничего сказать о непрерывности; но по рисунку "кажется", что они непрерывны, хотя бы потому, что у них общая касательная в точке соединения.

Как вы уже, наверное, догадались, щас будем опять все это дело перепараметризовывать. (Жуткое слово, согласен. - прим. перев.) Заменим u 2 на p в f (u) и v 2 на q в g (v). Получим такие уравнения:

f (p) = (-cos(p PI/2), sin(p PI/2), 0)
g (q) = (sin(q PI/2), cos(q PI/2), 0)

Их производные:

f '(p) = ((PI/2) sin(p PI/2), (PI/2) cos(p PI/2), 0)
f ''(p) = ((PI/2)2 cos(p PI/2), -(PI/2)2 sin(p PI/2), 0)

g '(q) = ((PI/2) cos(q PI/2), -(PI/2) sin(q PI/2), 0)
g ''(q) = (-(PI/2)2 sin(q PI/2), -(PI/2)2 cos(q PI/2), 0)

f '(p) × f ''(p) = g '(q) × g ''(q) = (0, 0, -(PI/2)3)
| f '(p) × f ''(p) | = | g '(q) × g ''(q) | = (PI/2)3
| f '(p) | = | g '(q) | = PI/2
k (p) = k (q) = 1

Следовательно, после замены переменных и f '(1) и g '(0) равны (PI/2, 0, 0) и поэтому они являются C 1 непрерывными. Более того, и f ''(1) и g ''(0) равны (0, -(PI/2)2, 0), и поэтому они C 2 непрерывны! Они также непрерывны по кривизне, так как их кривизна везде равна 1 (это окружности). Вот она какая, эта перепараметризация. 8)


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 151 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Касательный Вектор и Касательная | Нормальный Вектор и Кривизна | Рациональные Кривые | Рациональные Формы Стандартных Кривых | Построение Кривых Безье | Перемещение Контрольных Точек | Нахождение точки на Кривой Безье: Алгоритм De Casteljau's | Рекурсивное Представление | Объединение Двух Кривых Безье с соблюдением C1-Непрерывности | Соотношение Между Производной и Алгоритмом de Casteljau |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Почему Направляющая Тройка Важна?| Параметризация По Длине Дуги

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)