Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Однородные линейные системы

Читайте также:
  1. EV3.1 Допустимые аккумуляторы тяговой системы
  2. EV4.6 Изоляция, проводка и рукава проводки тяговой системы
  3. I.1.1. Определение границ системы.
  4. IC1.16 Устройство сверки показаний датчиков тормозной системы для двигателей ДВС с электронной системой управлений дроссельной заслонкой
  5. II закон термодинамики. Характеристические функции системы. Уравнение энергетического баланса системы, его анализ.
  6. III. Эволюция британской системы маяков
  7. IX. СИСТЕМЫ ИГРЫ

Общее решение однородной системы

Однородной линейной системой называется система уравнений вида

Любая однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Особенностью однородной системы является то, что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы.

Определение. Если ранг матрицы равен , то всякая совокупность из линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений.

Для отыскания общего решения системы достаточно найти ее фундаментальную систему решений и составить их линейную комбинацию

.

Фундаментальная система решений строится следующим образом. Выделяем базисную систему уравнений, главные и свободные неизвестные. Предположим, что свободными являются неизвестные . Зададим определитель порядка , отличный от нуля

.

Принимая значения элементов го столбца определителя за значения свободных переменных, решаем базисную систему уравнений. Получившиеся решений образуют фундаментальную систему решений. Один из возможных вариантов выбора определителя состоит в задании его как определителя единичной матрицы

.

 

Пример. Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение системы уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Очевидно, ранг матрицы системы равен 3, следовательно, фундаментальная система будет состоять из двух решений. За главные неизвестные можно принять , за свободные . Базисная система уравнений

Задаем свободные неизвестные

Решая базисную систему, получим фундаментальные решения

Тогда общее решение

Задачи

Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение систем уравнений.

1. 2.

3. 4.

5.

Неоднородные системы


Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 106 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Действия с матрицами | Алгебраические дополнения. Миноры. Формулы разложения определителя по столбцу или строке | Вычисление определителей | Обратная матрица | Вычисление ранга матрицы | Основные определения |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Квадратные системы. Формулы Крамера| Общее решение неоднородной системы

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)