Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Единственность ЖНФ

Теорема 2. ЖНФ матрицы A единственна с точностью до перестановки клеток.

Пусть A – жорданова матрица n x n. , где - жордановы клетки.

Обозначим: - число клеток Jm,l среди . Сначала выведем формулу для . Пусть A: V®V – линейный оператор на n-мерном пространстве с матрицей A.

Обозначим: Тогда Здесь - единичные матрицы соответствующих размеров.

1) Если и , то размер (Aj).

2) Если , то - матрица нильпотентного оператора B = A - lE на циклическом (для B) подпространстве U. Вычислим Пусть v, Bv, …, Bs-1v – циклический базис для B в U. Тогда Bt(U) = < Btv, …, Bs-1v> (или 0, если ). Отсюда , если t < s и u = 0 если .

3) Найдем разность для A. Пусть - размеры всех клеток среди с собственным числом l. Тогда для клеток с числом имеем разность можно считать только по клеткам с . Поэтому Т.е. - число клеток Jm,l среди , у которых . Отсюда ) - ( - число клеток Jk+1,l Þ формула , где

 

Пусть A и D матрицы двух жордановых нормальных форм одного оператора с матрицей В. Тогда: ( - некоторая матрица), . Поэтому

(т.к. F является невырожденной). Преобразование мы использовали следующее: . Таким образом, . Это и есть единственность. ð

28.02.05


БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

Определение.

F – поле, V – векторное пространство над эти полем.

Опр. Функция называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу. То есть:

1)

2)

 

Матрица билинейной формы.

Пусть - базис V. Обозначим .

Опр. называют матрицей билинейной формы f в базисе .

Координатная запись. , . Тогда:

, где

, , , а .

Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса.

Пусть и - два базиса пространства V. Пусть С – матрица перехода от базиса к базису . Пусть

Тогда:

, . Отсюда

, где - матрица в базисе . С другой стороны , где - матрица в базисе .

Замечание. Если для любых столбцов выполняется равенство , то матрицы В и А равны.

Пусть ,

(в смысле, что единица стоит на i-ом и j-ом месте соответственно; ни в коем случае не подразумевается вычитание) .

Учитывая замечание, получаем: .

 


Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Линейная зависимость. | ЛИНЕЙНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА | ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ | Ортогональные дополнения | Приведение квадратичной формы к главным осям. | Унитарные операторы. | Подпространства. | Доказательство. | КВАДРИКИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ | Изменение координат тензора при замене базиса |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Матрица линейного оператора.| Квадратичные формы

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)