Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Граничные условия

Читайте также:
  1. I. Инженерно-геологические условия
  2. II. Условия предоставления и размер гранта
  3. II. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНКУРСА
  4. II.Условия участия.
  5. III. Условия конкурса
  6. III. Условия пребывания делегаций и отдельных участников
  7. III. УСЛОВИЯ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Основные уравнения

 

Рассмотрение задачи движения электрона в системе потенциальных ям и барьеров прямоугольной формы упрощается тем, что решение уравнения Шредингера в области с постоянной потенциальной энергией U(x) = const имеет очень простой вид.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

(1)

в области с постоянной потенциальной энергией имеет следующие решения

Если E > U, то имеем

(2)

Если E < U, то имеем

(3)

где

Для наших целей удобно решение уравнения Шредингера представить в следующем виде

(4)

где действительные функции f(x), g(x) определены следующим образом

(5)

Здесь d - ширина ямы или барьера, в которых ищется решение уравнения Шредингера

В дальнейшем удобно линейные размеры системы и координаты задавать в ангстремах, а энергии в электроновольтах. Тогда типичные значения расстояний d ~50 D, а энергий U, E ~ 0.5 eV. Эффективную массу электрона в гетероструктуре возьмем в 10 раз меньшую, чем для свободного электрона. В этом случае параметр q = 0.162.

При переходе через границу двух соседних областей должны выполняться граничные условия – непрерывность волной функции и ее производной. Поэтому приведем формулы для производных

(6)

 

Рассмотрим задачу на нахождения дискретного энергетического спектра электрона в гетероструктуре следующего вида

U

UL U1 UR

U2 UN-1 UN

d1 d2 dN-1 dN

E

 

 

0..... x

x1 x2 x3 xN-1 xN xN+1

 

В этой структуре имеются три характерные области. Слева в области x < x1 энергия электрона E < UL. Поэтому волновая функция в этой области имеет вид

(7)

Справа в области x > xN+1 энергия электрона E < UR. Поэтому волновая функция в этой области имеет вид

(8)

Третья область состоит из N частей. В каждой из этих областей волновая функция имеет вид

(9)

где функции fn(x), gn(x) находятся по формулам (6)

 

 

Граничные условия

 

Рассмотрим граничные условия в точке x = xn+1. Слева и справа от этой границы волновые функции имеют вид

(10)

В самой точке x = xn+1 должны выполняться условия

(11)

После подстановки (10) в (11) получаем систему уравнений

(12)

Эту систему удобно переписать в матричном виде

(13)

где матричные элементы определяются по формулам

Нам улыбнулась удача, так как

 

Теперь легко связать амплитуды A1, B1 волновой функции в области n = 1 и амплитуды AN, BN волновой функции в области в области n = N.

(14)

Далее в точке x = x1 сшиваем функции и производные

 

В результате получаем систему

(15)

которую можно записать в матричном виде

(16)

Затем в точке x = xN+1 сшиваем функции и производные

 

В результате получаем систему

(17)

которую можно записать в матричном виде

(18)

 

 


Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 89 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Normal Distribution| Волновая функция заданного уровня энергии

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)